İçereği Atla
Sözel Kafa - Matematik Masterclass Bölüm 5
1 / 12

Faktöriyel (!)

Matematikte sayının sonuna ünlem (!) gelince korkma, sadece çarpman gerektiğini söylüyor. Bu konuda en önemli 3 taktiği öğreneceğiz:

  • Geri Sayım: Büyük sayıyı küçültme sanatı.
  • Asal Avı: Bir sayının içinde kaç tane 2, 3, 5 var?
  • Sıfır Avı: Sondan kaç basamağı sıfırdır?

Faktöriyel Nedir?

1'den n'e kadar olan sayıların çarpımıdır. "!" işareti ile gösterilir.

5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
⚠️
Unutma! 0! = 1 dir. (Matematiksel kabul, sakın 0 deme!)

Taktik 1: Küçüğe Benzet

Büyük faktöriyeli, küçük faktöriyele kadar açıp durdurabilirsin. Bu, sadeleştirme sorularının anahtarıdır.

10! = 10 . 9 . 8!

Yanına bir "!" koyduğun an durabilirsin. İster 8'de dur, ister 5'te.

Örnek 1

10! - 9! 8!

İşleminin sonucu kaçtır?

Harika! (90 - 9 = 81)
Hepsini en küçüğe (8!) benzetelim.
10! = 10 . 9 . 8!
9! = 9 . 8!

Pay: 10.9.8! - 9.8! = 8! parantezinde (90 - 9)
Payda: 8!
8!'ler sadeleşir. Geriye 81 kalır.

Taktik 2: Harfli İfadeler

Sayı yerine "n" olduğunda kural değişmez. Büyük olanı küçüğe kadar aç.

(n+2)! = (n+2) . (n+1) . n!

Örnek 2

(n+1)! (n-1)!
= 42

olduğuna göre n kaçtır?

Süper! (7.6 = 42 ise n=6)
Büyük olan (n+1)!'i, küçük olan (n-1)!'e kadar açalım:
(n+1)! = (n+1) . n . (n-1)!
Paydadaki (n-1)! ile sadeleşir.
Geriye kalan: (n+1) . n = 42
Ardışık iki sayının çarpımı 42 ise bu sayılar 7 ve 6'dır.
n+1 = 7 ise n = 6.

Taktik 3: Asal Çarpan Bulma

Bir faktöriyelin içinde belirli bir asal sayıdan kaç tane olduğunu bulmak için, faktöriyel sayısını o asal sayıya SÜREKLİ BÖLERİZ.

Kalanlarla ilgilenmeyiz, sadece BÖLÜMLERİ toplarız.

Örnek 3

30! sayısının içinde kaç tane 3 çarpanı vardır?

30! = 3x . A

x en çok kaçtır?

Doğru! (10+3+1 = 14)
30'u sürekli 3'e bölelim (Kalanları at):
1) 30 / 3 = 10
2) 10 / 3 = 3 (Bölüm)
3) 3 / 3 = 1 (Bölüm)
Bölümler toplamı: 10 + 3 + 1 = 14.

Taktik 4: Sondan Kaç Basamağı Sıfır?

Bir sayının sonundaki sıfır, o sayının içindeki 10 çarpanı demektir. 10 sayısı 2 ve 5'ten oluşur.

5 çarpanı daha az olduğu için her zaman 5'e böleriz.

KURAL Faktöriyeli sürekli 5'e böl ve bölümleri topla.

Örnek 4

43! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?

Harika! (8+1 = 9)
43'ü sürekli 5'e bölelim:
1) 43 / 5 = 8 (Kalanı at)
2) 8 / 5 = 1
Bölümler toplamı: 8 + 1 = 9 tane sıfır vardır.

FİNAL BOSS 🏆

a ve b pozitif tam sayılardır.

a! = 20 . b!

olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

🔥
İpucu: 20 ardışık iki sayının çarpımıdır (5.4). Bunu faktöriyele nasıl bağlarsın?
Bu sorunun iki çözümü olabilir ama şıklar yönlendirir.
Yol 1 (Klasik): a! = 20 . 19! desek a=20, b=19 olur. Toplam 39. (Şıklarda var ama daha küçük bir mantık var mı?)
Yol 2 (Ardışık): 20 = 5 . 4 tür.
Eğer denklemi 5 . 4 . 3! = 5! şeklinde düşünürsek:
a! = 5 . 4 . 3! (yani b=3 olursa)
a = 5, b = 3 olur.
Toplam: 5 + 3 = 8.
🎉

Harika İş Çıkardın!

Faktöriyel konusunun temel mantığını ve soru tiplerini öğrendin.

Şimdi 2. Bölümde (Soru Kampı) bu bilgileri pekiştireceğiz.