MODÜL 13: BÖLÜM 4 - ARİTMETİK VE GEOMETRİK ORTALAMA
"Sayıların Ortasını Bulma ve Dengeleme Sanatı"
1. Aritmetik Ortalama (A.O.)
Günlük hayatta "ortalama" dediğimiz şeydir (sınav notlarının ortalaması gibi). Verilen sayıların toplamının, sayı adedine bölünmesiyle bulunur.
Problemlerde (özellikle Yaş Problemlerinde) ortalama ve kişi sayısı verildiyse, hemen TOPLAM değeri bulup bir kenara yazın! Bütün soru o "Toplam" üzerinden çözülecektir.
Örnek: "5 kişilik bir grubun yaş ortalaması 20'dir" cümlesini okur okumaz ➡ "Bu grubun yaşları toplamı 5 x 20 = 100'dür!" diyebilmelisin.
2. Geometrik Ortalama (G.O.)
Geometrik ortalama, sayıların çarpımının kök içine alınmasıdır. Kökün derecesi, kaç tane sayı çarpıldığına eşittir.
İki Sayı İçin G.O.
İki sayının çarpımının Karekökü alınır.
Üç Sayı İçin G.O.
Üç sayının çarpımının Küp Kökü alınır.
3. İkiz Kuralı (A.O = G.O)
Eğer bir soruda "İki sayının aritmetik ortalaması, geometrik ortalamasına eşittir" diyorsa, uzun uzun işlem yapma! Matematikte bunun tek bir açıklaması vardır: BU İKİ SAYI BİRBİRİNİN TIPATIP AYNISIDIR. (a = b)
4. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
12, 18, 25 ve x sayılarının aritmetik ortalaması 20'dir.
Buna göre x kaçtır?
Çözümü Göster
Formülü uygulayalım: (Toplam) / (Adet) = Ortalama
- Elimizde 4 tane sayı var (Adet = 4).
- Sayıların toplamı = 12 + 18 + 25 + x = 55 + x
Denklemi kuralım:
İçler dışlar çarpımı yapalım (veya "Taktik" ile düşün: Toplam = 4 x 20 = 80 olmalı).
x = 80 - 55 ➡ x = 25
(3 - √5) ve (3 + √5) sayılarının geometrik ortalaması kaçtır?
Çözümü Göster
Geometrik ortalama kuralı: İki sayı varsa bunları çarp ve karekök içine al.
Kök içindeki çarpma işlemi, Modül 12'den (veya Modül 11 Eşlenik'ten) hatırlayacağın üzere bir İki Kare Farkı'dır. (Bir eksilisi, bir artılısı!)
Kök içi = Birincinin Karesi - İkincinin Karesi
- 3'ün karesi = 9
- √5'in karesi = 5
- Kök içi = 9 - 5 = 4
Son olarak en dıştaki büyük karekökü unutma!
(4x - 10) ve (2x + 6) sayılarının aritmetik ortalaması, geometrik ortalamasına eşittir.
Buna göre x kaçtır?
Çözümü Göster
Soruda sihirli kelimeyi gördük: "Aritmetik ortalama, geometrik ortalamaya eşittir."
Bunun matematiksel meali şudur: Bu iki sayı birbirine eşittir! Hiç formül yazmaya gerek yok, direkt eşitle.
- 4x - 10 = 2x + 6
- x'leri bir tarafa, sayıları bir tarafa topla.
- 4x - 2x = 6 + 10
- 2x = 16 ➡ x = 8
6 kişilik bir grubun yaş ortalaması 24'tür.
Bu gruba yaşları toplamı 40 olan 2 kişi daha katılırsa, yeni grubun yaş ortalaması kaç olur?
Çözümü Göster
KPSS Taktiğimizi (Toplam = Ortalama x Kişi) kullanarak adım adım ilerleyelim:
- Eski Grup: 6 kişi var, ortalama 24.
Eski Toplam = 6 x 24 = 144 - Gelenler: 2 kişi katılıyor, bunların yaşları toplamı hazır verilmiş: 40
Şimdi "Yeni" duruma bakalım:
- Yeni Toplam = 144 (Eski) + 40 (Gelenler) = 184
- Yeni Kişi Sayısı = 6 (Eski) + 2 (Gelenler) = 8 kişi
Yeni Ortalama = Yeni Toplam / Yeni Kişi Sayısı
İki sayının aritmetik ortalaması 5, geometrik ortalaması 4'tür.
Buna göre, bu iki sayının kareleri toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Sayılarımıza a ve b diyelim ve verilenleri matematik diline çevirelim:
- A.O. = 5 ➡ ➡ a + b = 10 (Toplamları bulundu)a + b2= 5
- G.O. = 4 ➡ ➡ Kökten kurtarmak için iki tarafın karesini al: a . b = 16 (Çarpımları bulundu)√a . b= 4
Soru bizden kareleri toplamını (a2 + b2) istiyor. Modül 12'den (Tam Kare) hatırlayalım!
Yerine koyalım:
- 102 = a2 + 2(16) + b2
- 100 = a2 + 32 + b2
32'yi karşıya atarsak:
Bir sınıftaki kız öğrencilerin matematik sınavı ortalaması 80, erkek öğrencilerin ortalaması ise 60'tır.
Sınıftaki kız öğrenci sayısının erkek öğrenci sayısına oranı
Çözümü Göster
Elimizde net bir kişi sayısı yok, oran var. Orantı (k) mantığını kullanalım:
- Kız / Erkek = 2 / 3 ise;
- Kız öğrenci sayısına 2k, Erkek öğrenci sayısına 3k diyebiliriz.
- Toplam Sınıf Mevcudu = 2k + 3k = 5k olur.
Sınıfın not ortalamasını bulmak için "Sınıfın Toplam Notu"nu bulup "Sınıf Mevcuduna" bölmeliyiz.
Toplam Not = Ortalama x Kişi Sayısı (Banko Taktiğimiz)
- Kızların Toplam Notu = 80 x 2k = 160k
- Erkeklerin Toplam Notu = 60 x 3k = 180k
- Sınıfın Toplam Notu = 160k + 180k = 340k
Sınıf Ortalaması = Toplam Not / Toplam Kişi
k'lar birbirini götürür (sadeleşir).
(Dikkat: Erkekler daha kalabalık olduğu için sınıf ortalaması, erkeklerin ortalamasına [60'a] daha yakındır. Buna Ağırlıklı Ortalama denir.)
MODÜL 13: BÖLÜM 4 - ARİTMETİK VE GEOMETRİK ORTALAMA
"Sayıların Ortasını Bulma ve Dengeleme Sanatı"
1. Aritmetik Ortalama (A.O.)
Günlük hayatta "ortalama" dediğimiz şeydir (sınav notlarının ortalaması gibi). Verilen sayıların toplamının, sayı adedine bölünmesiyle bulunur.
Problemlerde (özellikle Yaş Problemlerinde) ortalama ve kişi sayısı verildiyse, hemen TOPLAM değeri bulup bir kenara yazın! Bütün soru o "Toplam" üzerinden çözülecektir.
Örnek: "5 kişilik bir grubun yaş ortalaması 20'dir" cümlesini okur okumaz ➡ "Bu grubun yaşları toplamı 5 x 20 = 100'dür!" diyebilmelisin.
2. Geometrik Ortalama (G.O.)
Geometrik ortalama, sayıların çarpımının kök içine alınmasıdır. Kökün derecesi, kaç tane sayı çarpıldığına eşittir.
İki Sayı İçin G.O.
İki sayının çarpımının Karekökü alınır.
Üç Sayı İçin G.O.
Üç sayının çarpımının Küp Kökü alınır.
3. İkiz Kuralı (A.O = G.O)
Eğer bir soruda "İki sayının aritmetik ortalaması, geometrik ortalamasına eşittir" diyorsa, uzun uzun işlem yapma! Matematikte bunun tek bir açıklaması vardır: BU İKİ SAYI BİRBİRİNİN TIPATIP AYNISIDIR. (a = b)
4. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
12, 18, 25 ve x sayılarının aritmetik ortalaması 20'dir.
Buna göre x kaçtır?
Çözümü Göster
Formülü uygulayalım: (Toplam) / (Adet) = Ortalama
- Elimizde 4 tane sayı var (Adet = 4).
- Sayıların toplamı = 12 + 18 + 25 + x = 55 + x
Denklemi kuralım:
İçler dışlar çarpımı yapalım (veya "Taktik" ile düşün: Toplam = 4 x 20 = 80 olmalı).
x = 80 - 55 ➡ x = 25
(3 - √5) ve (3 + √5) sayılarının geometrik ortalaması kaçtır?
Çözümü Göster
Geometrik ortalama kuralı: İki sayı varsa bunları çarp ve karekök içine al.
Kök içindeki çarpma işlemi, Modül 12'den (veya Modül 11 Eşlenik'ten) hatırlayacağın üzere bir İki Kare Farkı'dır. (Bir eksilisi, bir artılısı!)
Kök içi = Birincinin Karesi - İkincinin Karesi
- 3'ün karesi = 9
- √5'in karesi = 5
- Kök içi = 9 - 5 = 4
Son olarak en dıştaki büyük karekökü unutma!
(4x - 10) ve (2x + 6) sayılarının aritmetik ortalaması, geometrik ortalamasına eşittir.
Buna göre x kaçtır?
Çözümü Göster
Soruda sihirli kelimeyi gördük: "Aritmetik ortalama, geometrik ortalamaya eşittir."
Bunun matematiksel meali şudur: Bu iki sayı birbirine eşittir! Hiç formül yazmaya gerek yok, direkt eşitle.
- 4x - 10 = 2x + 6
- x'leri bir tarafa, sayıları bir tarafa topla.
- 4x - 2x = 6 + 10
- 2x = 16 ➡ x = 8
6 kişilik bir grubun yaş ortalaması 24'tür.
Bu gruba yaşları toplamı 40 olan 2 kişi daha katılırsa, yeni grubun yaş ortalaması kaç olur?
Çözümü Göster
KPSS Taktiğimizi (Toplam = Ortalama x Kişi) kullanarak adım adım ilerleyelim:
- Eski Grup: 6 kişi var, ortalama 24.
Eski Toplam = 6 x 24 = 144 - Gelenler: 2 kişi katılıyor, bunların yaşları toplamı hazır verilmiş: 40
Şimdi "Yeni" duruma bakalım:
- Yeni Toplam = 144 (Eski) + 40 (Gelenler) = 184
- Yeni Kişi Sayısı = 6 (Eski) + 2 (Gelenler) = 8 kişi
Yeni Ortalama = Yeni Toplam / Yeni Kişi Sayısı
İki sayının aritmetik ortalaması 5, geometrik ortalaması 4'tür.
Buna göre, bu iki sayının kareleri toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Sayılarımıza a ve b diyelim ve verilenleri matematik diline çevirelim:
- A.O. = 5 ➡ ➡ a + b = 10 (Toplamları bulundu)a + b2= 5
- G.O. = 4 ➡ ➡ Kökten kurtarmak için iki tarafın karesini al: a . b = 16 (Çarpımları bulundu)√a . b= 4
Soru bizden kareleri toplamını (a2 + b2) istiyor. Modül 12'den (Tam Kare) hatırlayalım!
Yerine koyalım:
- 102 = a2 + 2(16) + b2
- 100 = a2 + 32 + b2
32'yi karşıya atarsak:
Bir sınıftaki kız öğrencilerin matematik sınavı ortalaması 80, erkek öğrencilerin ortalaması ise 60'tır.
Sınıftaki kız öğrenci sayısının erkek öğrenci sayısına oranı
Çözümü Göster
Elimizde net bir kişi sayısı yok, oran var. Orantı (k) mantığını kullanalım:
- Kız / Erkek = 2 / 3 ise;
- Kız öğrenci sayısına 2k, Erkek öğrenci sayısına 3k diyebiliriz.
- Toplam Sınıf Mevcudu = 2k + 3k = 5k olur.
Sınıfın not ortalamasını bulmak için "Sınıfın Toplam Notu"nu bulup "Sınıf Mevcuduna" bölmeliyiz.
Toplam Not = Ortalama x Kişi Sayısı (Banko Taktiğimiz)
- Kızların Toplam Notu = 80 x 2k = 160k
- Erkeklerin Toplam Notu = 60 x 3k = 180k
- Sınıfın Toplam Notu = 160k + 180k = 340k
Sınıf Ortalaması = Toplam Not / Toplam Kişi
k'lar birbirini götürür (sadeleşir).
(Dikkat: Erkekler daha kalabalık olduğu için sınıf ortalaması, erkeklerin ortalamasına [60'a] daha yakındır. Buna Ağırlıklı Ortalama denir.)