MODÜL 2: SAYI BASAMAKLARI - BÖLÜM 1
"Sayıların Anatomisi: Parçalara Ayır ve Yönet"
1. Çözümleme Mantığı Nedir?
Bir sayının rakamlarının, bulundukları basamağın değeri ile çarpılarak toplam şeklinde yazılmasına çözümleme denir. Cebirsel sorularda sayıyı "resim" olarak değil, "denklem" olarak görmemizi sağlar.
abc = 100.a + 10.b + c
aa = 10.a + a = 11.a
Sorularda ab + ba görürseniz uzun uzun açmayın:
(10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)
Sorularda ab - ba görürseniz:
(10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b)
Soruda "ab iki basamaklı sayı" diyorsa 10a+b diye açılır.
Ancak soruda "a ve b birer sayı, a.b çarpımı..." diyorsa bu normal çarpmadır.
Ayrıca, "ab" sayısı varsa a ≠ 0, "ba" sayısı varsa b ≠ 0 olmak zorundadır!
2. ÖSYM Tarzı Soru Çözümleri
SORU 1: ab ve ba iki basamaklı sayılardır.
ab + ba = 132 ve a - b = 4
olduğuna göre, a . b çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
ab + ba ifadesini pratik kuraldan 11(a + b) olarak yazabiliriz.
11(a + b) = 132
Her iki tarafı 11'e bölelim: 132 / 11 = 12
a + b = 12
a + b = 12
a - b = 4
------------ (Taraf tarafa topla)
2a = 16 => a = 8
Yerine koy: 8 + b = 12 => b = 4
Sonuç: a . b = 8 . 4 = 32
SORU 2: ab iki basamaklı bir sayıdır.
ab - ba = 45
koşulunu sağlayan kaç farklı ab sayısı yazılabilir?
Çözümü Göster
ab - ba = 9(a - b) kuralını uygula.
9(a - b) = 45
Her iki tarafı 9'a böl: a - b = 5
Farkı 5 olan rakam ikililerini bulalım (a ve b RAKAM olmalı).
(9, 4)
(8, 3)
(7, 2)
(6, 1)
(5, 0) -> DİKKAT!
Soruda "ba" ifadesi geçtiği için, sayının başa gelen rakamı 0 olamaz.
Yani b ≠ 0 olmalıdır. Eğer b=0 olsaydı, sayı "05" olurdu ve bu iki basamaklı değildir.
Bu yüzden (5, 0) çiftini eliyoruz.
Sonuç: 4 farklı sayı vardır. (94, 83, 72, 61)
SORU 3: AB ve BA iki basamaklı sayılardır.
(AB - BA) / (A + B) = 3
olduğuna göre, en büyük AB sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Pay kısmı AB - BA = 9(A - B) dir.
Denklem: 9(A - B) / (A + B) = 3
Eşitliğin solundaki 9 ile sağındaki 3 sadeleşir, solda 3 kalır.
3(A - B) = A + B
3A - 3B = A + B
A'ları bir tarafa, B'leri bir tarafa al.
3A - A = B + 3B
2A = 4B => A = 2B
A = 2B şartını sağlayan en büyük rakamları bulalım.
B=4 verirsek A=8 olur. (AB = 84)
B=5 verirsek A=10 olur. (Olamaz, A bir rakam olmalı)
Sonuç: En büyük AB sayısı 84'tür.
SORU 4: abc üç basamaklı, ab iki basamaklı sayılardır.
abc + ab = 356
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
(100a + 10b + c) + (10a + b) = 356
110a + 11b + c = 356
abc sayısını (ab0 + c) yani 10 . ab + c şeklinde yazabiliriz.
Denklem şuna döner:
(10 . ab + c) + ab = 356
11 tane ab + c = 356 => 11.ab + c = 356
356'nın içinde kaç tane 11 var?
356 / 11 işlemini yapalım: Bölüm 32, Kalan 4'tür.
Bu demektir ki: ab sayısı 32 ve c sayısı 4'tür.
ab = 32 ise a=3, b=2 dir. c=4 bulmuştuk.
Sonuç: 3 + 2 + 4 = 9
SORU 5: abc ve cba üç basamaklı sayılardır.
abc - cba = 495
ve a > b > c koşulunu sağlayan kaç farklı abc sayısı vardır?
Çözümü Göster
(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 495
99a - 99c = 495 (Ortadaki 10b'ler birbirini götürdü!)
99(a - c) = 495 => a - c = 5
a - c = 5 ise çiftler: (9, 4), (8, 3), (7, 2), (6, 1).
(5, 0) olamaz çünkü cba sayısı üç basamaklıysa c ≠ 0'dır.
1. Durum (9, 4): 9 > b > 4 => b = {8,7,6,5} (4 tane)
2. Durum (8, 3): 8 > b > 3 => b = {7,6,5,4} (4 tane)
3. Durum (7, 2): 7 > b > 2 => b = {6,5,4,3} (4 tane)
4. Durum (6, 1): 6 > b > 1 => b = {5,4,3,2} (4 tane)
Sonuç: 4 + 4 + 4 + 4 = 16 farklı sayı vardır.
SORU 6: Bir bankamatik şifresi belirleyen Ayşe, sisteme iki basamaklı AB sayısını girmek istiyor. Ancak klavyedeki bir hata nedeniyle sistem, onlar ve birler basamağını yer değiştirerek BA sayısı olarak algılıyor.
Bu hata sonucunda sistemdeki sayı, Ayşe'nin girmek istediği sayıdan 54 eksik oluyor.
A + B = 10 olduğuna göre, Ayşe'nin girmek istediği sayı kaçtır?
Çözümü Göster
Algılanan Sayı (BA), Girilen Sayıdan (AB) 54 eksikmiş.
BA = AB - 54
AB - BA = 54
9(A - B) = 54
A - B = 6
A - B = 6 (Bulduğumuz)
A + B = 10 (Soruda verilen)
---------------- (Topla)
2A = 16 => A = 8
8 + B = 10 => B = 2
Sonuç: Ayşe'nin girmek istediği sayı (AB) 82'dir.
MODÜL 2: SAYI BASAMAKLARI - BÖLÜM 1
"Sayıların Anatomisi: Parçalara Ayır ve Yönet"
1. Çözümleme Mantığı Nedir?
Bir sayının rakamlarının, bulundukları basamağın değeri ile çarpılarak toplam şeklinde yazılmasına çözümleme denir. Cebirsel sorularda sayıyı "resim" olarak değil, "denklem" olarak görmemizi sağlar.
abc = 100.a + 10.b + c
aa = 10.a + a = 11.a
Sorularda ab + ba görürseniz uzun uzun açmayın:
(10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)
Sorularda ab - ba görürseniz:
(10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b)
Soruda "ab iki basamaklı sayı" diyorsa 10a+b diye açılır.
Ancak soruda "a ve b birer sayı, a.b çarpımı..." diyorsa bu normal çarpmadır.
Ayrıca, "ab" sayısı varsa a ≠ 0, "ba" sayısı varsa b ≠ 0 olmak zorundadır!
2. ÖSYM Tarzı Soru Çözümleri
SORU 1: ab ve ba iki basamaklı sayılardır.
ab + ba = 132 ve a - b = 4
olduğuna göre, a . b çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
ab + ba ifadesini pratik kuraldan 11(a + b) olarak yazabiliriz.
11(a + b) = 132
Her iki tarafı 11'e bölelim: 132 / 11 = 12
a + b = 12
a + b = 12
a - b = 4
------------ (Taraf tarafa topla)
2a = 16 => a = 8
Yerine koy: 8 + b = 12 => b = 4
Sonuç: a . b = 8 . 4 = 32
SORU 2: ab iki basamaklı bir sayıdır.
ab - ba = 45
koşulunu sağlayan kaç farklı ab sayısı yazılabilir?
Çözümü Göster
ab - ba = 9(a - b) kuralını uygula.
9(a - b) = 45
Her iki tarafı 9'a böl: a - b = 5
Farkı 5 olan rakam ikililerini bulalım (a ve b RAKAM olmalı).
(9, 4)
(8, 3)
(7, 2)
(6, 1)
(5, 0) -> DİKKAT!
Soruda "ba" ifadesi geçtiği için, sayının başa gelen rakamı 0 olamaz.
Yani b ≠ 0 olmalıdır. Eğer b=0 olsaydı, sayı "05" olurdu ve bu iki basamaklı değildir.
Bu yüzden (5, 0) çiftini eliyoruz.
Sonuç: 4 farklı sayı vardır. (94, 83, 72, 61)
SORU 3: AB ve BA iki basamaklı sayılardır.
(AB - BA) / (A + B) = 3
olduğuna göre, en büyük AB sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Pay kısmı AB - BA = 9(A - B) dir.
Denklem: 9(A - B) / (A + B) = 3
Eşitliğin solundaki 9 ile sağındaki 3 sadeleşir, solda 3 kalır.
3(A - B) = A + B
3A - 3B = A + B
A'ları bir tarafa, B'leri bir tarafa al.
3A - A = B + 3B
2A = 4B => A = 2B
A = 2B şartını sağlayan en büyük rakamları bulalım.
B=4 verirsek A=8 olur. (AB = 84)
B=5 verirsek A=10 olur. (Olamaz, A bir rakam olmalı)
Sonuç: En büyük AB sayısı 84'tür.
SORU 4: abc üç basamaklı, ab iki basamaklı sayılardır.
abc + ab = 356
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
(100a + 10b + c) + (10a + b) = 356
110a + 11b + c = 356
abc sayısını (ab0 + c) yani 10 . ab + c şeklinde yazabiliriz.
Denklem şuna döner:
(10 . ab + c) + ab = 356
11 tane ab + c = 356 => 11.ab + c = 356
356'nın içinde kaç tane 11 var?
356 / 11 işlemini yapalım: Bölüm 32, Kalan 4'tür.
Bu demektir ki: ab sayısı 32 ve c sayısı 4'tür.
ab = 32 ise a=3, b=2 dir. c=4 bulmuştuk.
Sonuç: 3 + 2 + 4 = 9
SORU 5: abc ve cba üç basamaklı sayılardır.
abc - cba = 495
ve a > b > c koşulunu sağlayan kaç farklı abc sayısı vardır?
Çözümü Göster
(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 495
99a - 99c = 495 (Ortadaki 10b'ler birbirini götürdü!)
99(a - c) = 495 => a - c = 5
a - c = 5 ise çiftler: (9, 4), (8, 3), (7, 2), (6, 1).
(5, 0) olamaz çünkü cba sayısı üç basamaklıysa c ≠ 0'dır.
1. Durum (9, 4): 9 > b > 4 => b = {8,7,6,5} (4 tane)
2. Durum (8, 3): 8 > b > 3 => b = {7,6,5,4} (4 tane)
3. Durum (7, 2): 7 > b > 2 => b = {6,5,4,3} (4 tane)
4. Durum (6, 1): 6 > b > 1 => b = {5,4,3,2} (4 tane)
Sonuç: 4 + 4 + 4 + 4 = 16 farklı sayı vardır.
SORU 6: Bir bankamatik şifresi belirleyen Ayşe, sisteme iki basamaklı AB sayısını girmek istiyor. Ancak klavyedeki bir hata nedeniyle sistem, onlar ve birler basamağını yer değiştirerek BA sayısı olarak algılıyor.
Bu hata sonucunda sistemdeki sayı, Ayşe'nin girmek istediği sayıdan 54 eksik oluyor.
A + B = 10 olduğuna göre, Ayşe'nin girmek istediği sayı kaçtır?
Çözümü Göster
Algılanan Sayı (BA), Girilen Sayıdan (AB) 54 eksikmiş.
BA = AB - 54
AB - BA = 54
9(A - B) = 54
A - B = 6
A - B = 6 (Bulduğumuz)
A + B = 10 (Soruda verilen)
---------------- (Topla)
2A = 16 => A = 8
8 + B = 10 => B = 2
Sonuç: Ayşe'nin girmek istediği sayı (AB) 82'dir.