İçereği Atla
KPSS Matematik | Modül 13: Bölüm 3 - Bileşik Orantı

MODÜL 13: BÖLÜM 3 - BİLEŞİK ORANTI

"Doğru ve Ters Orantının Aynı Masada Buluştuğu Yer"

1. Bileşik Orantı Denklemi

Eğer bir "y" sayısı, "x" ile doğru ve "z" ile ters orantılıysa; doğru orantılı olanlar bölünür, ters orantılı olanlar çarpılır. Hepsini tek bir "k" (orantı sabiti) etrafında birleştiririz.

Matematiksel Şablon

y, x ile doğru; z ile ters orantılı ise:

y . z x
= k

2. KPSS İçin Hayat Kurtaran "Altın Formül"

İşçi, havuz, gün, saat gibi 3-4 farklı değişkenin aynı paragrafta verildiği soruları okurken beynimiz yanar. "Kimi kiminle çapraz çarpacağım, kimi düz çarpacağım?" derdine son veren o meşhur formül şudur:

🏆 BÜYÜK İŞ FORMÜLÜ
1. YAPILAN İŞ 1. İş İle İlgili Diğer Her Şeyin Çarpımı
=
2. YAPILAN İŞ 2. İş İle İlgili Diğer Her Şeyin Çarpımı

Önemli Not:

Burada "İŞ" dediğimiz şey, cümlenin amacıdır (Halı dokumak, duvar boyamak, parça üretmek vb.). Soruda açıkça bir iş miktarı yoksa (örneğin "bir işi" diyorsa) her iki işin yerine de "1" yazılır.

3. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)

KOLAY SORU 1: Cebirsel Bileşik Orantı

A sayısı, (B - 1) ile doğru, (C + 2) ile ters orantılıdır.
A = 6 ve B = 3 iken C = 2 olmaktadır.

Buna göre, B = 5 ve C = 6 iken A kaçtır?

Çözümü Göster

Doğru orantı olan bölüme, ters orantı olan çarpıma yazılır.

A . (C + 2) B - 1
= k
  • 1. Durum (k'yı bulma): A=6, B=3, C=2
    6 . (2 + 2)3 - 1
    =
    242
    = 12     (Demek ki k = 12)
  • 2. Durum (A'yı bulma): B=5, C=6, k=12
    A . (6 + 2)5 - 1
    = 12
  • A . 84
    = 12
  • 2A = 12 ➡ A = 6
ORTA SORU 2: Temel İşçi - Gün Problemi

Eş güçteki 6 işçi, günde 8 saat çalışarak bir işi 15 günde bitiriyor.

Buna göre, aynı güçteki 9 işçi günde 10 saat çalışarak aynı işi kaç günde bitirir?

Çözümü Göster

Hemen "Büyük İş Formülü"müzü kullanalım.

Soruda somut bir iş miktarı yok (Sadece "bir iş" demiş). Bu yüzden iş gördüğümüz yerlere "1" yazacağız.

1 6 . 8 . 15
=
1 9 . 10 . x

Üstler aynı olduğuna göre, alt kısımlar da birbirine eşit olmak zorundadır.

  • 6 . 8 . 15 = 9 . 10 . x
  • Sadeleştirmeleri yapalım (veya çarpalım):
    720 = 90x
  • Her iki tarafı 90'a böl: x = 8 gün.
ORTA (İŞ MİKTARI DEĞİŞİRSE) SORU 3: Değişen İş Miktarı

4 makine, günde 6 saat çalışarak 120 adet halıyı 5 günde dokuyabilmektedir.

Buna göre, 6 makine günde 4 saat çalışarak 160 adet halıyı kaç günde dokur?

Çözümü Göster

Bu soruda "İŞ" belli: Halı dokumak! O zaman formülde pay kısmına halı sayılarını yazacağız.

  • 1. Durum: İş = 120 halı. Diğerleri = 4, 6, 5
  • 2. Durum: İş = 160 halı. Diğerleri = 6, 4, x

Formüle yerleştirelim:

120 4 . 6 . 5
=
160 6 . 4 . x

Şimdi tırpanlama (sadeleştirme) zamanı!

  • Sol tarafın altı: 4 x 6 x 5 = 120 yapar. O zaman sol taraf: 120 / 120 = 1 olur!
  • Denklem şuna döndü: 1 =
    16024x
  • İçler dışlar: 24x = 160
  • x = 160 / 24. İki tarafı da 8'e bölelim.
  • Cevap: x = 20 / 3 gün.
ZOR (KAT ORANLARI) SORU 4: Değişkenleri Katlamak

Bir grup işçi, günde 6 saat çalışarak bir işi 20 günde bitiriyor.

İşçi sayısı iki katına çıkarılır, günlük çalışma süresi 1/3 oranında azaltılır ve yapılacak olan iş miktarı 3 katına çıkarılırsa, bu iş kaç günde biter?

Çözümü Göster

Başlangıçtaki verilere harf verelim ve ikinci durumu o harflere göre şekillendirelim.

  • 1. Durum:
    İşçi = İ
    Saat = 6
    Gün = 20
    İş = W
  • 2. Durum:
    İşçi sayısı iki katı = 2İ
    Saat 1/3 azaltılıyor: 6'nın 1/3'ü 2'dir. 6 - 2 = 4 saat.
    İş miktarı 3 katı = 3W
    Gün = x

Formüle dökelim:

W İ . 6 . 20
=
3W 2İ . 4 . x

Karşılıklı W'ler ve İ'ler birbirini yutar.

1 120
=
3 8x

İçler dışlar çarpımı:

  • 8x = 360
  • x = 45 gün.
ZOR (KAPASİTE FARKI) SORU 5: Kapasite ve Orantı

Aynı kapasitedeki 10 usta, 15 günde 200 metrekare duvar boyayabiliyor.

Ustaların çalışma kapasitesi %20 artırılırsa, 12 usta 10 günde kaç metrekare duvar boyar?

Çözümü Göster

Kapasite de işçinin gücüyle doğru orantılı bir çarpandır. Başlangıç kapasitesine kolay işlem yapmak için 100V diyelim.

  • 1. Durum:
    İş = 200
    Diğerleri: 10 usta, 15 gün, 100V kapasite.
  • 2. Durum:
    İş = x
    Diğerleri: 12 usta, 10 gün, 120V kapasite (Çünkü %20 artırıldı).

Altın İş Formülüne yazalım:

200 10 . 15 . 100V
=
x 12 . 10 . 120V

V'ler ve sıfırların birçoğunu sadeleştirelim:

2 150
=
x 1440
  • 175
    =
    x1440
  • 75x = 1440
  • x = 1440 / 75 ➡ x = 19,2 metrekare.
YENİ NESİL DİJİTAL SORU 6: Sunucu Veri Transferi

Bir veri merkezindeki 3 ana sunucu, günde 4 saat tam kapasiteyle çalışarak 500 GB'lık bir veri setini 5 günde şifreleyebiliyor.

Veri merkezi yöneticisi sistemi hızlandırmak için sunucu sayısını 5'e çıkarıyor. Ancak sunucuların aşırı ısınmasını önlemek için günlük çalışma sürelerini 2 saate düşürüyor.

Buna göre, yeni sistem 1000 GB'lık bir veriyi kaç günde şifreler?

Çözümü Göster

Eski usul işçi problemlerinin tam olarak günümüz teknolojisine uyarlanmış halidir. Formül yine aynı: "Büyük İş Formülü".

Burada İŞ = Şifrelenen Veri Miktarıdır (GB).

  • 1. Durum:
    İş = 500 GB
    Diğerleri = 3 sunucu, 4 saat, 5 gün.
  • 2. Durum:
    İş = 1000 GB
    Diğerleri = 5 sunucu, 2 saat, x gün.

Formüle koyalım:

500 3 . 4 . 5
=
1000 5 . 2 . x

Paydaki 500 ve 1000 sadeleşir, karşıda 2 kalır:

1 60
=
2 10x

İçler Dışlar Çarpımı yapalım:

  • 10x = 120
  • x = 12 gün.