MODÜL 14: BÖLÜM 2 - BİLİNMEYEN SAYISI VE DENKLEM ÇÖZME
"Adaletin Terazisi: X'i Yalnız Bırakma Sanatı"
1. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
İçinde sadece bir tane harf (genellikle "x") bulunan denklemlerdir. Temel amaç, "Bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler diğer tarafa" kuralını uygulayarak x'i tek başına bırakmaktır.
Bir sayıyı veya harfi eşittir (=) işaretinin diğer tarafına atıyorsanız, işareti KESİNLİKLE değişir.
- Artı (+) geçer Eksi (-) olur.
- Eksi (-) geçer Artı (+) olur.
- Çarpım durumundaki bir sayı, karşıya "Bölüm" olarak geçer.
2. Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler (Sistemler)
İçinde "x" ve "y" gibi iki farklı harf bulunan ve alt alta yazılan denklemlerdir. Bunları çözmenin en meşhur ve garanti yolu Yok Etme Metodu'dur.
Yok Etme Metodu (Taraf Tarafa Toplama)
Amaç, denklemleri alt alta topladığımızda harflerden birinin (x veya y'nin) birbirini götürüp sıfırlamasını sağlamaktır. Gerekirse denklemlerden birini uygun bir sayıyla genişletiriz (çarparız).
2x + y = 10
3x - y = 5 (Burada +y ve -y zaten birbirini götürmeye hazır!)
5x = 15 ➡ x = 3
3. Özel Durumlar (Çözüm Kümesi)
ÖSYM bazen direkt "x kaçtır" demez de, "Denklemin çözüm kümesi boş küme ise..." diye sorar. Bu durumları katsayı oranlarından şıp diye anlarız.
Sonsuz Çözüm (Çakışık Doğrular)
Her şey birbiriyle tamamen aynıdır. Katsayıların hepsi orantılıdır.
x'lerin oranı = y'lerin oranı = Sayıların oranı
Boş Küme (Paralel Doğrular)
x ve y katsayıları aynı orandadır ama karşıdaki sayılar alakasızdır.
x'lerin oranı = y'lerin oranı ≠ Sayıların oranı
4. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Önce parantezin dışındaki "3" sayısını içeriye dağıtarak işe başlayalım:
- 3x - 6 + 4 = 2x + 5
- Sayıları toparlayalım: 3x - 2 = 2x + 5
Şimdi altın kural: "Bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler diğer tarafa!"
Küçük olan 2x'i, 3x'in yanına (eksi olarak); -2'yi ise 5'in yanına (artı olarak) yollayalım.
- 3x - 2x = 5 + 2
- x = 7
x - y = 5
olduğuna göre, x . y çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Denklemlere baktığımızda "+y" ve "-y" yi görüyoruz. Bunlar zaten taraf tarafa (alt alta) topladığımızda birbirini yok edecektir.
2x + y = 13
+ x - y = 5
-----------------
3x = 18
Her iki tarafı 3'e bölersek: x = 6 buluruz.
Şimdi bulduğumuz x = 6 değerini, denklemlerin herhangi birinde (kolay olanında) yerine yazıp y'yi bulalım. İkinci denklemi seçelim:
- x - y = 5
- 6 - y = 5
- y = 1
Bizden çarpımları istenmiş: 6 . 1 = 6
olduğuna göre x kaçtır?
Çözümü Göster
Kesirli denklemlerdeki en iyi taktik, paydaları eşitleyip onlardan tamamen kurtulmaktır!
Paydalar 2 ve 3. Bunlar 6'da eşitlenir. (Birinciyi 3 ile, ikinciyi 2 ile genişletelim).
- 1. Kesir (3 ile): 3x - 36
- 2. Kesir (2 ile): 2x + 26
Tek paydada yazalım:
Üst tarafı toparlayalım: 5x - 1
İçler dışlar çarpımı yapalım (4 ile 6'yı çarpalım):
- 5x - 1 = 24
- -1 karşıya +1 olarak geçer: 5x = 25
- x = 5
4x + 6y = b
Yukarıdaki denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Sonsuz çözüm demek, bu iki denklemin aslında "aynı denklem" olması demektir. Kuralımız neydi? Katsayıların oranları birbirine eşit olmalıdır.
Yerine yazalım:
Ortadaki oranın (3/6) sadeleşmiş hali 1/2 dir. Yani her şey 1/2'ye eşit olacak!
- a - 24=12➡ (İçler dışlar: 2a - 4 = 4 ➡ 2a = 8) ➡ a = 4
- 5b=12➡ (İçler dışlar: b = 10) ➡ b = 10
Bizden a + b istenmiş: 4 + 10 = 14
Bir otoparkta sadece otomobiller (4 tekerlekli) ve motosikletler (2 tekerlekli) bulunmaktadır.
Otoparktaki toplam araç sayısı 30, araçların toplam tekerlek sayısı 100 olduğuna göre, otoparkta kaç adet otomobil vardır?
Çözümü Göster
İki bilinmeyenli denklem sistemlerinin hayattaki en klasik örneğidir. (Tavuk-Tavşan problemiyle aynı mantıktır).
- Otomobil sayısına O, Motosiklet sayısına M diyelim.
- Toplam araç sayısı 30: O + M = 30
- Tekerlek sayısı denklemi (Otomobilde 4, motorda 2 tekerlek vardır): 4O + 2M = 100
Sistemi alt alta yazalım ve bizden Otomobil (O) istendiği için Motosikletleri (M) yok edelim.
-2O - 2M = -60
+ 4O + 2M = 100
-----------------
2O = 40
Her iki tarafı 2'ye bölersek: O = 20.
Cevap: 20 adet otomobil vardır. (Geriye kalan 10 tanesi motosiklettir).
Aynı uzunluktaki iki mumdan biri 4 saatte, diğeri ise 6 saatte tamamen yanarak eriyip bitmektedir.
Bu iki mum aynı anda yakıldıktan kaç saat sonra birinin boyu diğerinin boyunun 2 katı (yarısı) olur?
Çözümü Göster
Çok popüler ve harika bir denklem kurma sorusudur. Uzunluk belli değilse değer ver! İşlem kolaylığı için mumların boyuna 4 ve 6'nın ortak katı olan 12 cm diyelim.
- Hızlı Yanan Mum: 4 saatte 12 cm bitiyorsa, 1 saatte (12/4) = 3 cm erir.
- Yavaş Yanan Mum: 6 saatte 12 cm bitiyorsa, 1 saatte (12/6) = 2 cm erir.
Diyelim ki aradan "t" saat geçti.
- Hızlı mumun kalan boyu: 12 - 3t
- Yavaş mumun kalan boyu: 12 - 2t
Yavaş yanan mum daha uzun kalacaktır. Soru diyor ki; uzun olanın boyu, kısa olanın boyunun 2 katı olsun.
(12 - 2t) = 2 . (12 - 3t)
Denklemi çözelim (2'yi içeri dağıt):
- 12 - 2t = 24 - 6t
- -6t'yi sola, 12'yi sağa atalım.
- 6t - 2t = 24 - 12
- 4t = 12 ➡ t = 3
Cevap: Mumlar yakıldıktan 3 saat sonra bu durum gerçekleşir.
MODÜL 14: BÖLÜM 2 - BİLİNMEYEN SAYISI VE DENKLEM ÇÖZME
"Adaletin Terazisi: X'i Yalnız Bırakma Sanatı"
1. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
İçinde sadece bir tane harf (genellikle "x") bulunan denklemlerdir. Temel amaç, "Bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler diğer tarafa" kuralını uygulayarak x'i tek başına bırakmaktır.
Bir sayıyı veya harfi eşittir (=) işaretinin diğer tarafına atıyorsanız, işareti KESİNLİKLE değişir.
- Artı (+) geçer Eksi (-) olur.
- Eksi (-) geçer Artı (+) olur.
- Çarpım durumundaki bir sayı, karşıya "Bölüm" olarak geçer.
2. Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler (Sistemler)
İçinde "x" ve "y" gibi iki farklı harf bulunan ve alt alta yazılan denklemlerdir. Bunları çözmenin en meşhur ve garanti yolu Yok Etme Metodu'dur.
Yok Etme Metodu (Taraf Tarafa Toplama)
Amaç, denklemleri alt alta topladığımızda harflerden birinin (x veya y'nin) birbirini götürüp sıfırlamasını sağlamaktır. Gerekirse denklemlerden birini uygun bir sayıyla genişletiriz (çarparız).
2x + y = 10
3x - y = 5 (Burada +y ve -y zaten birbirini götürmeye hazır!)
5x = 15 ➡ x = 3
3. Özel Durumlar (Çözüm Kümesi)
ÖSYM bazen direkt "x kaçtır" demez de, "Denklemin çözüm kümesi boş küme ise..." diye sorar. Bu durumları katsayı oranlarından şıp diye anlarız.
Sonsuz Çözüm (Çakışık Doğrular)
Her şey birbiriyle tamamen aynıdır. Katsayıların hepsi orantılıdır.
x'lerin oranı = y'lerin oranı = Sayıların oranı
Boş Küme (Paralel Doğrular)
x ve y katsayıları aynı orandadır ama karşıdaki sayılar alakasızdır.
x'lerin oranı = y'lerin oranı ≠ Sayıların oranı
4. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Önce parantezin dışındaki "3" sayısını içeriye dağıtarak işe başlayalım:
- 3x - 6 + 4 = 2x + 5
- Sayıları toparlayalım: 3x - 2 = 2x + 5
Şimdi altın kural: "Bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler diğer tarafa!"
Küçük olan 2x'i, 3x'in yanına (eksi olarak); -2'yi ise 5'in yanına (artı olarak) yollayalım.
- 3x - 2x = 5 + 2
- x = 7
x - y = 5
olduğuna göre, x . y çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Denklemlere baktığımızda "+y" ve "-y" yi görüyoruz. Bunlar zaten taraf tarafa (alt alta) topladığımızda birbirini yok edecektir.
2x + y = 13
+ x - y = 5
-----------------
3x = 18
Her iki tarafı 3'e bölersek: x = 6 buluruz.
Şimdi bulduğumuz x = 6 değerini, denklemlerin herhangi birinde (kolay olanında) yerine yazıp y'yi bulalım. İkinci denklemi seçelim:
- x - y = 5
- 6 - y = 5
- y = 1
Bizden çarpımları istenmiş: 6 . 1 = 6
olduğuna göre x kaçtır?
Çözümü Göster
Kesirli denklemlerdeki en iyi taktik, paydaları eşitleyip onlardan tamamen kurtulmaktır!
Paydalar 2 ve 3. Bunlar 6'da eşitlenir. (Birinciyi 3 ile, ikinciyi 2 ile genişletelim).
- 1. Kesir (3 ile): 3x - 36
- 2. Kesir (2 ile): 2x + 26
Tek paydada yazalım:
Üst tarafı toparlayalım: 5x - 1
İçler dışlar çarpımı yapalım (4 ile 6'yı çarpalım):
- 5x - 1 = 24
- -1 karşıya +1 olarak geçer: 5x = 25
- x = 5
4x + 6y = b
Yukarıdaki denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Sonsuz çözüm demek, bu iki denklemin aslında "aynı denklem" olması demektir. Kuralımız neydi? Katsayıların oranları birbirine eşit olmalıdır.
Yerine yazalım:
Ortadaki oranın (3/6) sadeleşmiş hali 1/2 dir. Yani her şey 1/2'ye eşit olacak!
- a - 24=12➡ (İçler dışlar: 2a - 4 = 4 ➡ 2a = 8) ➡ a = 4
- 5b=12➡ (İçler dışlar: b = 10) ➡ b = 10
Bizden a + b istenmiş: 4 + 10 = 14
Bir otoparkta sadece otomobiller (4 tekerlekli) ve motosikletler (2 tekerlekli) bulunmaktadır.
Otoparktaki toplam araç sayısı 30, araçların toplam tekerlek sayısı 100 olduğuna göre, otoparkta kaç adet otomobil vardır?
Çözümü Göster
İki bilinmeyenli denklem sistemlerinin hayattaki en klasik örneğidir. (Tavuk-Tavşan problemiyle aynı mantıktır).
- Otomobil sayısına O, Motosiklet sayısına M diyelim.
- Toplam araç sayısı 30: O + M = 30
- Tekerlek sayısı denklemi (Otomobilde 4, motorda 2 tekerlek vardır): 4O + 2M = 100
Sistemi alt alta yazalım ve bizden Otomobil (O) istendiği için Motosikletleri (M) yok edelim.
-2O - 2M = -60
+ 4O + 2M = 100
-----------------
2O = 40
Her iki tarafı 2'ye bölersek: O = 20.
Cevap: 20 adet otomobil vardır. (Geriye kalan 10 tanesi motosiklettir).
Aynı uzunluktaki iki mumdan biri 4 saatte, diğeri ise 6 saatte tamamen yanarak eriyip bitmektedir.
Bu iki mum aynı anda yakıldıktan kaç saat sonra birinin boyu diğerinin boyunun 2 katı (yarısı) olur?
Çözümü Göster
Çok popüler ve harika bir denklem kurma sorusudur. Uzunluk belli değilse değer ver! İşlem kolaylığı için mumların boyuna 4 ve 6'nın ortak katı olan 12 cm diyelim.
- Hızlı Yanan Mum: 4 saatte 12 cm bitiyorsa, 1 saatte (12/4) = 3 cm erir.
- Yavaş Yanan Mum: 6 saatte 12 cm bitiyorsa, 1 saatte (12/6) = 2 cm erir.
Diyelim ki aradan "t" saat geçti.
- Hızlı mumun kalan boyu: 12 - 3t
- Yavaş mumun kalan boyu: 12 - 2t
Yavaş yanan mum daha uzun kalacaktır. Soru diyor ki; uzun olanın boyu, kısa olanın boyunun 2 katı olsun.
(12 - 2t) = 2 . (12 - 3t)
Denklemi çözelim (2'yi içeri dağıt):
- 12 - 2t = 24 - 6t
- -6t'yi sola, 12'yi sağa atalım.
- 6t - 2t = 24 - 12
- 4t = 12 ➡ t = 3
Cevap: Mumlar yakıldıktan 3 saat sonra bu durum gerçekleşir.