MODÜL 25: BÖLÜM 5 - BİNOM AÇILIMI (TEMEL DÜZEY)
"Kuvveti paylaşma sanatıdır. Biri asansörle inerken, diğeri yukarı çıkar!"
1. Binom Nedir? (Pascal Üçgeni ile Akrabalığı)
Binom (İki Terimli), (x + y)n şeklindeki ifadelerin uzun uzun çarpılmadan, pratik bir şekilde yan yana açılmasıdır. Bu açılımı yaparken katsayıları bulmak için önceki bölümde öğrendiğimiz Kombinasyonu (Seçme'yi) kullanırız.
Pascal Üçgeni'ndeki her bir sayı, o açılımdaki terimlerin önündeki katsayılardır. Örneğin (x + y)2 açılımı x2 + 2xy + y2'dir. Katsayıları (1, 2, 1) Pascal üçgeninin 2. satırından gelir!
2. Binomun Sözel Kafa Kuralları
Açılımdaki terim sayısı, tepedeki kuvvetin (n) her zaman 1 fazlasıdır.
Örnek: (2x - 3y)5 açılımında 5 + 1 = 6 tane terim vardır.
Açılım yapılırken baştaki terimin (x) kuvveti sürekli azalır, sondaki terimin (y) kuvveti sürekli artar.
Ancak her bir terimdeki kuvvetlerin (üslerin) toplamı daima en baştaki güce (n'ye) eşittir.
Örnek: (x + y)7 açılımındaki bir terim A.x4.yb ise; x'in üssü (4) ile y'nin üssünün (b) toplamı 7 olmalıdır. Buradan b = 3 bulunur.
3. En Çok Sorulan KPSS Taktikleri: Pratik Değer Verme
ÖSYM genellikle sana bütün açılımı yaptırmaz. En çok sorduğu iki şifreli soru vardır:
Eğer bir soruda "Katsayılar Toplamı" soruluyorsa, içerideki tüm harflerin (x, y, a, b ne varsa) yerine 1 (BİR) yazılır ve sonuç hesaplanır.
Örnek: (3x - 2y)4 ifadesinin katsayılar toplamı?
x=1, y=1 yaz. ➡ (3(1) - 2(1))4 ➡ (1)4 = 1
Eğer "Sabit Terim" soruluyorsa (yanında hiç harf olmayan sayı), içerideki tüm harflerin yerine 0 (SIFIR) yazılır.
Örnek: (4x - 5)3 ifadesinin sabit terimi?
x=0 yaz. ➡ (0 - 5)3 ➡ (-5)3 = -125
4. Soru Çözümleri
(2a - 3b)n açılımında 8 tane terim bulunduğuna göre, bu açılımdaki terimlerden birinin harfli kısmı a4.bx olduğuna göre x kaçtır?
Çözümü Göster
1. Adım: Terim sayısı her zaman kuvvetin 1 fazlasıydı.
Terim sayısı 8 ise, kuvvetimiz (n) = 7'dir. Açılımımız aslında (2a - 3b)7 imiş.
2. Adım: Asansör mantığını (Kardeş Payı) hatırlayalım. Herhangi bir terimdeki üslerin toplamı daima ana güce (7'ye) eşit olmalıdır.
a4.bx ifadesinde üsleri toplayalım: 4 + x = 7
Buradan x = 3 bulunur.
P(x,y) = (2x - y + 1)3 ifadesinin katsayılar toplamı A, sabit terimi B olduğuna göre, A - B farkı kaçtır?
Çözümü Göster
1. Adım (A'yı Bulmak): Katsayılar toplamı için her harfe 1 veririz (x=1, y=1).
A = (2(1) - 1 + 1)3
A = (2 - 1 + 1)3 = (2)3 = 8
2. Adım (B'yi Bulmak): Sabit terim için her harfe 0 veririz (x=0, y=0).
B = (2(0) - 0 + 1)3
B = (0 - 0 + 1)3 = (1)3 = 1
3. Adım (Fark): A - B = 8 - 1 = 7
(x - 2y)4 açılımı x'in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde baştan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
1. Adım: Baştan 3. terim demek (r + 1) = 3 demektir. Yani r = 2'dir. (Her zaman istenen sıranın 1 eksiğini alırız).
Gücümüz (n) zaten tepede yazıyor: n = 4.
2. Adım (Formüle Yerleştir):
C(4, 2) . (x)4-2 . (-2y)2
(Dikkat! İkinci terim y değil, işaretiyle birlikte -2y'dir.)
3. Adım (İşlemleri Yap):
- C(4, 2) = (4 x 3) / (2 x 1) = 6
- (x)2 = x2
- (-2y)2 = (-2)2 . y2 = +4y2
Sonuç: Hepsini birleştirip çarpalım.
6 . x2 . 4y2 = 24x2y2
MODÜL 25: BÖLÜM 5 - BİNOM AÇILIMI (TEMEL DÜZEY)
"Kuvveti paylaşma sanatıdır. Biri asansörle inerken, diğeri yukarı çıkar!"
1. Binom Nedir? (Pascal Üçgeni ile Akrabalığı)
Binom (İki Terimli), (x + y)n şeklindeki ifadelerin uzun uzun çarpılmadan, pratik bir şekilde yan yana açılmasıdır. Bu açılımı yaparken katsayıları bulmak için önceki bölümde öğrendiğimiz Kombinasyonu (Seçme'yi) kullanırız.
Pascal Üçgeni'ndeki her bir sayı, o açılımdaki terimlerin önündeki katsayılardır. Örneğin (x + y)2 açılımı x2 + 2xy + y2'dir. Katsayıları (1, 2, 1) Pascal üçgeninin 2. satırından gelir!
2. Binomun Sözel Kafa Kuralları
Açılımdaki terim sayısı, tepedeki kuvvetin (n) her zaman 1 fazlasıdır.
Örnek: (2x - 3y)5 açılımında 5 + 1 = 6 tane terim vardır.
Açılım yapılırken baştaki terimin (x) kuvveti sürekli azalır, sondaki terimin (y) kuvveti sürekli artar.
Ancak her bir terimdeki kuvvetlerin (üslerin) toplamı daima en baştaki güce (n'ye) eşittir.
Örnek: (x + y)7 açılımındaki bir terim A.x4.yb ise; x'in üssü (4) ile y'nin üssünün (b) toplamı 7 olmalıdır. Buradan b = 3 bulunur.
3. En Çok Sorulan KPSS Taktikleri: Pratik Değer Verme
ÖSYM genellikle sana bütün açılımı yaptırmaz. En çok sorduğu iki şifreli soru vardır:
Eğer bir soruda "Katsayılar Toplamı" soruluyorsa, içerideki tüm harflerin (x, y, a, b ne varsa) yerine 1 (BİR) yazılır ve sonuç hesaplanır.
Örnek: (3x - 2y)4 ifadesinin katsayılar toplamı?
x=1, y=1 yaz. ➡ (3(1) - 2(1))4 ➡ (1)4 = 1
Eğer "Sabit Terim" soruluyorsa (yanında hiç harf olmayan sayı), içerideki tüm harflerin yerine 0 (SIFIR) yazılır.
Örnek: (4x - 5)3 ifadesinin sabit terimi?
x=0 yaz. ➡ (0 - 5)3 ➡ (-5)3 = -125
4. Soru Çözümleri
(2a - 3b)n açılımında 8 tane terim bulunduğuna göre, bu açılımdaki terimlerden birinin harfli kısmı a4.bx olduğuna göre x kaçtır?
Çözümü Göster
1. Adım: Terim sayısı her zaman kuvvetin 1 fazlasıydı.
Terim sayısı 8 ise, kuvvetimiz (n) = 7'dir. Açılımımız aslında (2a - 3b)7 imiş.
2. Adım: Asansör mantığını (Kardeş Payı) hatırlayalım. Herhangi bir terimdeki üslerin toplamı daima ana güce (7'ye) eşit olmalıdır.
a4.bx ifadesinde üsleri toplayalım: 4 + x = 7
Buradan x = 3 bulunur.
P(x,y) = (2x - y + 1)3 ifadesinin katsayılar toplamı A, sabit terimi B olduğuna göre, A - B farkı kaçtır?
Çözümü Göster
1. Adım (A'yı Bulmak): Katsayılar toplamı için her harfe 1 veririz (x=1, y=1).
A = (2(1) - 1 + 1)3
A = (2 - 1 + 1)3 = (2)3 = 8
2. Adım (B'yi Bulmak): Sabit terim için her harfe 0 veririz (x=0, y=0).
B = (2(0) - 0 + 1)3
B = (0 - 0 + 1)3 = (1)3 = 1
3. Adım (Fark): A - B = 8 - 1 = 7
(x - 2y)4 açılımı x'in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde baştan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
1. Adım: Baştan 3. terim demek (r + 1) = 3 demektir. Yani r = 2'dir. (Her zaman istenen sıranın 1 eksiğini alırız).
Gücümüz (n) zaten tepede yazıyor: n = 4.
2. Adım (Formüle Yerleştir):
C(4, 2) . (x)4-2 . (-2y)2
(Dikkat! İkinci terim y değil, işaretiyle birlikte -2y'dir.)
3. Adım (İşlemleri Yap):
- C(4, 2) = (4 x 3) / (2 x 1) = 6
- (x)2 = x2
- (-2y)2 = (-2)2 . y2 = +4y2
Sonuç: Hepsini birleştirip çarpalım.
6 . x2 . 4y2 = 24x2y2