MODÜL 17: BÖLÜM 2 - BİRLİKTE İŞ YAPMA VE AYRILMA
"Bir Elin Nesi Var, İki Elin Sesi Var; Ama Biri Giderse İşler Karışır!"
1. Güçleri Birleştirme Formülü
İki kişi birlikte çalıştığında hızları toplanır. Birim zamanda yapılan işleri toplayıp, toplam sürenin tersine eşitleriz.
a: Birincinin bitirme süresi, b: İkincinin bitirme süresi, T: Beraber bitirme süresi.
2. İşten Ayrılma Senaryosu (İş = 1)
Eğer işçilerden biri işi yarım bırakıp giderse, herkesin çalıştığı süre kadar katkısını toplar ve işin tamamı olan 1'e eşitleriz.
Genel Denklem Mantığı
Ahmet t gün çalıştı, Mehmet k gün çalıştıysa:
Bu formül her derde devadır! Kimin kaç gün çalıştığını paya yaz, bitirme süresini paydaya yaz, topla ve 1'e eşitle.
Ahmet işi 20, Mehmet 30 günde yapıyorsa;
İşin tamamına 60 birim (EKOK) de.
Ahmet günde 3 birim, Mehmet günde 2 birim iş yapar.
Bu yöntemle kesirlerle uğraşmadan, tam sayılarla elma toplar gibi soru çözersin!
3. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
Ali bir işi tek başına 10 günde, Veli ise aynı işi 15 günde bitirmektedir.
Buna göre, ikisi birlikte bu işi kaç günde bitirirler?
Çözümü Göster
1. YOL (Klasik Formül):
Paydaları 30'da eşitleyelim (3 ve 2 ile):
İçler dışlar: 5T = 30 ➡ T = 6 gün.
2. YOL (EKOK - Sözel Kafa):
- 10 ve 15'in ortak katı 30. İşin tamamı 30 birim olsun.
- Ali'nin hızı: 30/10 = 3 birim/gün
- Veli'nin hızı: 30/15 = 2 birim/gün
- Beraber hızları: 3 + 2 = 5 birim/gün
- Bitirme süresi: Toplam İş / Toplam Hız = 30 / 5 = 6 gün.
Ahmet bir işi 20 günde, Burak ise 30 günde bitirebilmektedir.
İkisi birlikte işe başlayıp 4 gün çalıştıktan sonra Ahmet işi bırakıyor. Kalan işi Burak tek başına kaç günde bitirir?
Çözümü Göster
EKOK Yöntemiyle Çözelim (Daha Hızlı):
- 20 ve 30'un EKOK'u 60. İşin tamamı 60 tuğla örmek olsun.
- Ahmet'in hızı: 60/20 = 3 tuğla/gün
- Burak'ın hızı: 60/30 = 2 tuğla/gün
Senaryoyu Oynatalım:
- Beraber 4 gün çalıştılar: (3 + 2) . 4 = 5 . 4 = 20 tuğla bitti.
- Kalan İş: 60 - 20 = 40 tuğla kaldı.
- Ahmet gitti, Burak (hızı 2) tek başına kaldı.
- Burak'ın süresi: Kalan İş / Burak Hız = 40 / 2 = 20 gün.
Cevap: 20 gün.
Selin bir işi tek başına 12 günde, Pelin ise 24 günde yapabilmektedir.
Selin işe başlayıp 3 gün tek başına çalıştıktan sonra yanına Pelin geliyor. Kalan işi birlikte tamamlıyorlar. İşin tamamı toplam kaç günde biter?
Çözümü Göster
Kesir Yöntemi (Genel Denklem):
Selin baştan sona kadar çalıştı. Pelin ise sonradan geldi.
- Birlikte çalıştıkları süreye x diyelim.
- Selin'in toplam süresi: 3 + x gün.
- Pelin'in toplam süresi: x gün.
Paydaları 24'te eşitleyelim (Birinciyi 2 ile çarp):
2(3 + x) + x = 24
6 + 2x + x = 24
3x = 18 ➡ x = 6 (Beraber çalıştıkları süre).
Soru "İşin Tamamı"nı soruyor. Başta 3 gün tek çalışılmıştı.
Toplam Süre = 3 + 6 = 9 gün.
Usta ile çırağı bir duvarı birlikte 6 saatte boyayabiliyorlar.
İkisi birlikte işe başlayıp 2 saat çalıştıktan sonra usta işi bırakıyor. Kalan işi çırak 10 saatte tamamlıyor. Buna göre çırak bu işin tamamını tek başına kaç saatte yapardı?
Çözümü Göster
Burada "İş Parçası" üzerinden gitmek en mantıklısıdır.
- İkisi birlikte tamamını 6 saatte bitiriyorsa, 1 saatte işin 1/6'sını yaparlar.
- 2 saat birlikte çalışmışlar: 26=13'ü bitti.
- Kalan İş: 1 - 13=23(İşin 2/3'ü kaldı).
Çırak bu kalan 2/3'lük işi 10 saatte bitirmiş.
Orantı Kuralım:
Tamamını (3/3) ➡ x saatte yapar
Parçadan bütüne gidelim: 2 parçası 10 saat ise, 1 parçası 5 saattir.
Tamamı (3 parça) = 3 . 5 = 15 saat.
Cevap: 15 saat.
Bir atölyede iki adet 3D yazıcı vardır. A yazıcısı bir maketi tek başına 6 saatte, B yazıcısı ise aynı maketi 12 saatte basabilmektedir.
İki yazıcı aynı anda çalışmaya başladıktan bir süre sonra elektrikler kesiliyor ve A yazıcısı arızalanıp devre dışı kalıyor. Elektrikler geldiğinde B yazıcısı kalan kısmı tek başına basmaya devam ediyor. İşin toplamda bitmesi 6 saat sürdüğüne göre, elektrikler kaçıncı saatte kesilmiştir?
Çözümü Göster
Hikaye uzun ama mantık "Genel Denklem" mantığıdır. Kimin kaç saat çalıştığına odaklanalım.
- Elektrik kesilene kadar geçen süreye (beraber çalıştıkları süreye) t diyelim.
- A yazıcısı sadece t saat çalıştı (sonra bozuldu).
- B yazıcısı hem başta (t) hem de elektrikten sonra çalıştı. Toplam süre 6 saat verildiğine göre, B yazıcısı toplam 6 saat çalışmıştır!
Denklemi kuralım (A'nın süresi / A'nın gücü + B'nin süresi / B'nin gücü = 1):
Sadeleştirme yapalım (6/12 = 1/2):
t/6 + 1/2 = 1
1/2'yi karşıya atalım:
t/6 = 1/2
İçler dışlar: 2t = 6 ➡ t = 3
Cevap: Elektrikler 3. saatte kesilmiştir.
Cemil Usta bir duvarı 10 saatte, çırağı ise 15 saatte boyayabilmektedir.
Cemil Usta işe tek başına başlıyor. Duvarın yarısını boyadığında yoruluyor ve çırağını yardıma çağırıyor. Kalan kısmı birlikte boyuyorlar. İşin tamamı toplam kaç saatte biter?
Çözümü Göster
İşi iki aşamada inceleyelim: Tek Başına ve Birlikte.
1. Aşama (Tek Başına):
- Cemil Usta tamamını 10 saatte yapıyorsa, yarısını (1/2'sini) 5 saatte yapar.
- İlk 5 saat geçti. Geriye duvarın diğer yarısı (1/2'si) kaldı.
2. Aşama (Birlikte):
- Kalan iş: 1/2.
- Birlikte güçlerini birleştirelim: 110+115
- Payda 30'da eşitlenir: 330+230=530=16
- Yani ikisi birlikte tamamını 6 saatte bitirebilirler.
- Ama ellerinde "Tam İş" yok, "Yarım İş" (1/2) var.
- Tamamını 6 saatte yapıyorlarsa, yarısını 3 saatte yaparlar.
Toplam Süre = 5 saat (tek) + 3 saat (birlikte) = 8 saat.
MODÜL 17: BÖLÜM 2 - BİRLİKTE İŞ YAPMA VE AYRILMA
"Bir Elin Nesi Var, İki Elin Sesi Var; Ama Biri Giderse İşler Karışır!"
1. Güçleri Birleştirme Formülü
İki kişi birlikte çalıştığında hızları toplanır. Birim zamanda yapılan işleri toplayıp, toplam sürenin tersine eşitleriz.
a: Birincinin bitirme süresi, b: İkincinin bitirme süresi, T: Beraber bitirme süresi.
2. İşten Ayrılma Senaryosu (İş = 1)
Eğer işçilerden biri işi yarım bırakıp giderse, herkesin çalıştığı süre kadar katkısını toplar ve işin tamamı olan 1'e eşitleriz.
Genel Denklem Mantığı
Ahmet t gün çalıştı, Mehmet k gün çalıştıysa:
Bu formül her derde devadır! Kimin kaç gün çalıştığını paya yaz, bitirme süresini paydaya yaz, topla ve 1'e eşitle.
Ahmet işi 20, Mehmet 30 günde yapıyorsa;
İşin tamamına 60 birim (EKOK) de.
Ahmet günde 3 birim, Mehmet günde 2 birim iş yapar.
Bu yöntemle kesirlerle uğraşmadan, tam sayılarla elma toplar gibi soru çözersin!
3. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
Ali bir işi tek başına 10 günde, Veli ise aynı işi 15 günde bitirmektedir.
Buna göre, ikisi birlikte bu işi kaç günde bitirirler?
Çözümü Göster
1. YOL (Klasik Formül):
Paydaları 30'da eşitleyelim (3 ve 2 ile):
İçler dışlar: 5T = 30 ➡ T = 6 gün.
2. YOL (EKOK - Sözel Kafa):
- 10 ve 15'in ortak katı 30. İşin tamamı 30 birim olsun.
- Ali'nin hızı: 30/10 = 3 birim/gün
- Veli'nin hızı: 30/15 = 2 birim/gün
- Beraber hızları: 3 + 2 = 5 birim/gün
- Bitirme süresi: Toplam İş / Toplam Hız = 30 / 5 = 6 gün.
Ahmet bir işi 20 günde, Burak ise 30 günde bitirebilmektedir.
İkisi birlikte işe başlayıp 4 gün çalıştıktan sonra Ahmet işi bırakıyor. Kalan işi Burak tek başına kaç günde bitirir?
Çözümü Göster
EKOK Yöntemiyle Çözelim (Daha Hızlı):
- 20 ve 30'un EKOK'u 60. İşin tamamı 60 tuğla örmek olsun.
- Ahmet'in hızı: 60/20 = 3 tuğla/gün
- Burak'ın hızı: 60/30 = 2 tuğla/gün
Senaryoyu Oynatalım:
- Beraber 4 gün çalıştılar: (3 + 2) . 4 = 5 . 4 = 20 tuğla bitti.
- Kalan İş: 60 - 20 = 40 tuğla kaldı.
- Ahmet gitti, Burak (hızı 2) tek başına kaldı.
- Burak'ın süresi: Kalan İş / Burak Hız = 40 / 2 = 20 gün.
Cevap: 20 gün.
Selin bir işi tek başına 12 günde, Pelin ise 24 günde yapabilmektedir.
Selin işe başlayıp 3 gün tek başına çalıştıktan sonra yanına Pelin geliyor. Kalan işi birlikte tamamlıyorlar. İşin tamamı toplam kaç günde biter?
Çözümü Göster
Kesir Yöntemi (Genel Denklem):
Selin baştan sona kadar çalıştı. Pelin ise sonradan geldi.
- Birlikte çalıştıkları süreye x diyelim.
- Selin'in toplam süresi: 3 + x gün.
- Pelin'in toplam süresi: x gün.
Paydaları 24'te eşitleyelim (Birinciyi 2 ile çarp):
2(3 + x) + x = 24
6 + 2x + x = 24
3x = 18 ➡ x = 6 (Beraber çalıştıkları süre).
Soru "İşin Tamamı"nı soruyor. Başta 3 gün tek çalışılmıştı.
Toplam Süre = 3 + 6 = 9 gün.
Usta ile çırağı bir duvarı birlikte 6 saatte boyayabiliyorlar.
İkisi birlikte işe başlayıp 2 saat çalıştıktan sonra usta işi bırakıyor. Kalan işi çırak 10 saatte tamamlıyor. Buna göre çırak bu işin tamamını tek başına kaç saatte yapardı?
Çözümü Göster
Burada "İş Parçası" üzerinden gitmek en mantıklısıdır.
- İkisi birlikte tamamını 6 saatte bitiriyorsa, 1 saatte işin 1/6'sını yaparlar.
- 2 saat birlikte çalışmışlar: 26=13'ü bitti.
- Kalan İş: 1 - 13=23(İşin 2/3'ü kaldı).
Çırak bu kalan 2/3'lük işi 10 saatte bitirmiş.
Orantı Kuralım:
Tamamını (3/3) ➡ x saatte yapar
Parçadan bütüne gidelim: 2 parçası 10 saat ise, 1 parçası 5 saattir.
Tamamı (3 parça) = 3 . 5 = 15 saat.
Cevap: 15 saat.
Bir atölyede iki adet 3D yazıcı vardır. A yazıcısı bir maketi tek başına 6 saatte, B yazıcısı ise aynı maketi 12 saatte basabilmektedir.
İki yazıcı aynı anda çalışmaya başladıktan bir süre sonra elektrikler kesiliyor ve A yazıcısı arızalanıp devre dışı kalıyor. Elektrikler geldiğinde B yazıcısı kalan kısmı tek başına basmaya devam ediyor. İşin toplamda bitmesi 6 saat sürdüğüne göre, elektrikler kaçıncı saatte kesilmiştir?
Çözümü Göster
Hikaye uzun ama mantık "Genel Denklem" mantığıdır. Kimin kaç saat çalıştığına odaklanalım.
- Elektrik kesilene kadar geçen süreye (beraber çalıştıkları süreye) t diyelim.
- A yazıcısı sadece t saat çalıştı (sonra bozuldu).
- B yazıcısı hem başta (t) hem de elektrikten sonra çalıştı. Toplam süre 6 saat verildiğine göre, B yazıcısı toplam 6 saat çalışmıştır!
Denklemi kuralım (A'nın süresi / A'nın gücü + B'nin süresi / B'nin gücü = 1):
Sadeleştirme yapalım (6/12 = 1/2):
t/6 + 1/2 = 1
1/2'yi karşıya atalım:
t/6 = 1/2
İçler dışlar: 2t = 6 ➡ t = 3
Cevap: Elektrikler 3. saatte kesilmiştir.
Cemil Usta bir duvarı 10 saatte, çırağı ise 15 saatte boyayabilmektedir.
Cemil Usta işe tek başına başlıyor. Duvarın yarısını boyadığında yoruluyor ve çırağını yardıma çağırıyor. Kalan kısmı birlikte boyuyorlar. İşin tamamı toplam kaç saatte biter?
Çözümü Göster
İşi iki aşamada inceleyelim: Tek Başına ve Birlikte.
1. Aşama (Tek Başına):
- Cemil Usta tamamını 10 saatte yapıyorsa, yarısını (1/2'sini) 5 saatte yapar.
- İlk 5 saat geçti. Geriye duvarın diğer yarısı (1/2'si) kaldı.
2. Aşama (Birlikte):
- Kalan iş: 1/2.
- Birlikte güçlerini birleştirelim: 110+115
- Payda 30'da eşitlenir: 330+230=530=16
- Yani ikisi birlikte tamamını 6 saatte bitirebilirler.
- Ama ellerinde "Tam İş" yok, "Yarım İş" (1/2) var.
- Tamamını 6 saatte yapıyorlarsa, yarısını 3 saatte yaparlar.
Toplam Süre = 5 saat (tek) + 3 saat (birlikte) = 8 saat.