MODÜL 3: BÖLME VE BÖLÜNEBİLME - BÖLÜM 1
"Matematiğin Terazisi: Bölme Algoritması"
1. Bölme Algoritması Nedir?
Bölme işlemi sadece "karpuz kesmek" değildir. Bir sayının (A) içinde, başka bir sayıdan (B) kaç tane (C) olduğunu ve artanı (K) bulma işlemidir.
- 1. A = B . C + K (Sağlama Kuralı)
- 2. 0 ≤ K < B (Kalan Kuralı)
ALTIN KURAL:
Bir bölme işleminde KALAN, asla ve asla BÖLEN'den büyük veya ona eşit olamaz!
Eğer soruda K < B şartı sağlanmıyorsa, bölme işlemi bitmemiştir.
2. ÖSYM Tarzı Soru Çözümleri
SORU 1: Bir bölme işleminde bölen 12, bölüm 5 ve kalan 7'dir.
Buna göre, bölünen sayı kaçtır?
Çözümü Göster
Bölen (B) = 12
Bölüm (C) = 5
Kalan (K) = 7
Bölünen = (Bölen x Bölüm) + Kalan
A = (12 x 5) + 7
A = 60 + 7 = 67
SORU 2: A doğal sayısı B doğal sayısına bölündüğünde bölüm 6, kalan 8'dir.
Buna göre, A sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster
A = B . 6 + 8
Kalan daima Bölenden küçük olmalıdır.
8 < B
A'nın en küçük olması için, B'nin en küçük olması gerekir.
8'den büyük en küçük tam sayı B = 9'dur.
A = 9 . 6 + 8
A = 54 + 8 = 62
SORU 3: A sayısı B'ye bölündüğünde bölüm 3, kalan 2'dir. B sayısı C'ye bölündüğünde bölüm 4, kalan 1'dir.
Buna göre, A sayısının C cinsinden eşiti nedir?
Çözümü Göster
A = 3.B + 2
B = 4.C + 1
A = 3 . (4C + 1) + 2
Parantezi açalım:
A = 12C + 3 + 2
Sonuç: A = 12C + 5
SORU 4: A doğal sayısı 15'e bölündüğünde; bölüm x, kalan x² olmaktadır.
Buna göre, A sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
A = 15 . x + x²
Kalan < Bölen olmalı.
x² < 15
Karesi 15'ten küçük olan en büyük pozitif tam sayı kimdir?
x = 3 (Çünkü 3² = 9 < 15).
(x=4 olsaydı 16 olurdu, olmaz).
x = 3 için:
A = 15 . 3 + 3²
A = 45 + 9 = 54
SORU 5: Bir K sayısı, 24 ile bölündüğünde bölüm x, kalan 7'dir.
Aynı K sayısı x'e bölündüğünde ise bölüm 24, kalan yine 7 olmaktadır.
Buna göre x sayısı kaç farklı değer alabilir?
Çözümü Göster
Bir bölme işleminde; eğer Kalan < Bölüm ise, Bölen ile Bölüm yer değiştirebilir ve kalan değişmez.
Aksi takdirde yer değiştiremezler.
Soruda yer değiştirilmiş ve kalan (7) değişmemiş.
Bu işlemin geçerli olması için:
1) Kalan < İlk Bölen -> 7 < 24 (Zaten doğru)
2) Kalan < İlk Bölüm -> 7 < x olmalı!
K = 24.x + 7
Burada x'i kısıtlayan başka bir matematiksel engel (örneğin K'nın rakamları toplamı vb.) verilmemiş.
x, 7'den büyük her türlü doğal sayı olabilir mi?
Evet. Soruda "K doğal sayısı" dediği için x > 7 olan sonsuz tane değer vardır.
(Not: Eğer soru 'K < 200' gibi bir sınır verseydi sayıları bulurduk. Bu haliyle mantık: x > 7 olmalıdır.)
SORU 6: Bir miktar ceviz, bir sınıftaki öğrencilere paylaştırılacaktır.
- Her öğrenciye 8 ceviz düşerse 5 ceviz artıyor.
- Her öğrenciye 9 ceviz düşerse, öğretmenin cevizleri tamamlayabilmesi için 10 cevize daha ihtiyacı oluyor.
Buna göre, sınıftaki öğrenci sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Öğrenci sayısına x, Ceviz sayısına A diyelim.
1. Durum: A = 8x + 5 (Bölen x, Bölüm 8, Kalan 5)
2. Durum: A = 9x - 10 (Eksik kalan durum)
Ceviz sayısı (A) aynı olduğuna göre:
8x + 5 = 9x - 10
Bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler bir tarafa:
5 + 10 = 9x - 8x
15 = x
Sonuç: Sınıfta 15 öğrenci vardır.
MODÜL 3: BÖLME VE BÖLÜNEBİLME - BÖLÜM 1
"Matematiğin Terazisi: Bölme Algoritması"
1. Bölme Algoritması Nedir?
Bölme işlemi sadece "karpuz kesmek" değildir. Bir sayının (A) içinde, başka bir sayıdan (B) kaç tane (C) olduğunu ve artanı (K) bulma işlemidir.
- 1. A = B . C + K (Sağlama Kuralı)
- 2. 0 ≤ K < B (Kalan Kuralı)
ALTIN KURAL:
Bir bölme işleminde KALAN, asla ve asla BÖLEN'den büyük veya ona eşit olamaz!
Eğer soruda K < B şartı sağlanmıyorsa, bölme işlemi bitmemiştir.
2. ÖSYM Tarzı Soru Çözümleri
SORU 1: Bir bölme işleminde bölen 12, bölüm 5 ve kalan 7'dir.
Buna göre, bölünen sayı kaçtır?
Çözümü Göster
Bölen (B) = 12
Bölüm (C) = 5
Kalan (K) = 7
Bölünen = (Bölen x Bölüm) + Kalan
A = (12 x 5) + 7
A = 60 + 7 = 67
SORU 2: A doğal sayısı B doğal sayısına bölündüğünde bölüm 6, kalan 8'dir.
Buna göre, A sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster
A = B . 6 + 8
Kalan daima Bölenden küçük olmalıdır.
8 < B
A'nın en küçük olması için, B'nin en küçük olması gerekir.
8'den büyük en küçük tam sayı B = 9'dur.
A = 9 . 6 + 8
A = 54 + 8 = 62
SORU 3: A sayısı B'ye bölündüğünde bölüm 3, kalan 2'dir. B sayısı C'ye bölündüğünde bölüm 4, kalan 1'dir.
Buna göre, A sayısının C cinsinden eşiti nedir?
Çözümü Göster
A = 3.B + 2
B = 4.C + 1
A = 3 . (4C + 1) + 2
Parantezi açalım:
A = 12C + 3 + 2
Sonuç: A = 12C + 5
SORU 4: A doğal sayısı 15'e bölündüğünde; bölüm x, kalan x² olmaktadır.
Buna göre, A sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
A = 15 . x + x²
Kalan < Bölen olmalı.
x² < 15
Karesi 15'ten küçük olan en büyük pozitif tam sayı kimdir?
x = 3 (Çünkü 3² = 9 < 15).
(x=4 olsaydı 16 olurdu, olmaz).
x = 3 için:
A = 15 . 3 + 3²
A = 45 + 9 = 54
SORU 5: Bir K sayısı, 24 ile bölündüğünde bölüm x, kalan 7'dir.
Aynı K sayısı x'e bölündüğünde ise bölüm 24, kalan yine 7 olmaktadır.
Buna göre x sayısı kaç farklı değer alabilir?
Çözümü Göster
Bir bölme işleminde; eğer Kalan < Bölüm ise, Bölen ile Bölüm yer değiştirebilir ve kalan değişmez.
Aksi takdirde yer değiştiremezler.
Soruda yer değiştirilmiş ve kalan (7) değişmemiş.
Bu işlemin geçerli olması için:
1) Kalan < İlk Bölen -> 7 < 24 (Zaten doğru)
2) Kalan < İlk Bölüm -> 7 < x olmalı!
K = 24.x + 7
Burada x'i kısıtlayan başka bir matematiksel engel (örneğin K'nın rakamları toplamı vb.) verilmemiş.
x, 7'den büyük her türlü doğal sayı olabilir mi?
Evet. Soruda "K doğal sayısı" dediği için x > 7 olan sonsuz tane değer vardır.
(Not: Eğer soru 'K < 200' gibi bir sınır verseydi sayıları bulurduk. Bu haliyle mantık: x > 7 olmalıdır.)
SORU 6: Bir miktar ceviz, bir sınıftaki öğrencilere paylaştırılacaktır.
- Her öğrenciye 8 ceviz düşerse 5 ceviz artıyor.
- Her öğrenciye 9 ceviz düşerse, öğretmenin cevizleri tamamlayabilmesi için 10 cevize daha ihtiyacı oluyor.
Buna göre, sınıftaki öğrenci sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Öğrenci sayısına x, Ceviz sayısına A diyelim.
1. Durum: A = 8x + 5 (Bölen x, Bölüm 8, Kalan 5)
2. Durum: A = 9x - 10 (Eksik kalan durum)
Ceviz sayısı (A) aynı olduğuna göre:
8x + 5 = 9x - 10
Bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler bir tarafa:
5 + 10 = 9x - 8x
15 = x
Sonuç: Sınıfta 15 öğrenci vardır.