MODÜL 13: BÖLÜM 2 - DOĞRU VE TERS ORANTI
"Birisi Büyürken Diğeri Ne Yapıyor? Bütün Mesele Bu!"
1. İki Kardeşin Hikayesi
📈 Doğru Orantı (D.O.)
İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa (veya azalıyorsa) aralarında doğru orantı vardır.
- İşçi sayısı artarsa, üretilen mal artar.
- Un miktarı artarsa, ekmek sayısı artar.
Matematiksel Karşılığı: BÖLME
"k" Verme Taktiği: a, b, c sayıları sırasıyla 2, 3 ve 4 ile doğru orantılıdır denirse direkt karşılarına k koyarız.
a = 2k, b = 3k, c = 4k
📉 Ters Orantı (T.O.)
İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda azalıyorsa aralarında ters orantı vardır.
- İşçi sayısı artarsa, işin bitme süresi AZALIR.
- Arabanın hızı artarsa, varış süresi AZALIR.
Matematiksel Karşılığı: ÇARPMA
"k" Verme Taktiği: a, b, c sayıları sırasıyla 2, 3 ve 4 ile ters orantılıdır denirse, çarpımlarını eşitleriz (EKOK'ta buluştururuz).
2a = 3b = 4c = 12k ➡ a = 6k, b = 4k, c = 3k
2. Denklem Kurma Taktikleri
Problemlerde orantı kurarken alt alta yazdığımızda, doğru orantıda Çapraz Çarpım, ters orantıda Düz (Karşılıklı) Çarpım yaparız.
Doğru Orantıda ÇAPRAZ
a . x = b . c
Ters Orantıda DÜZ
a . b = c . x
Eğer soruda "A sayısı B sayısı ile orantılıdır" deyip, "Doğru" veya "Ters" olduğunu belirtmiyorsa; matematik dilinde bu kesinlikle DOĞRU ORANTI demektir!
3. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
A sayısı (B + 2) sayısı ile doğru orantılıdır.
A = 12 iken B = 4 olduğuna göre, A = 20 iken B kaçtır?
Çözümü Göster
Doğru orantı olduğu için bölümleri (A / B+2) sabittir.
- 1. Durum: A = 12, B = 4 ➡ Formül: 12 / (4+2) = 12 / 6 = 2 (Orantı Sabitimiz k)
- 2. Durum: A = 20, B = ? ➡ Formül: 20 / (B+2) = 2
İçler dışlar çarpımı yapalım:
2 . (B + 2) = 20
B + 2 = 10 ➡ B = 8
(x - 1) sayısı ile (y + 3) sayısı ters orantılıdır.
x = 5 iken y = 2 olduğuna göre, y = 7 iken x kaçtır?
Çözümü Göster
Ters orantı olduğu için çarpımları sabit olmak zorundadır. Formülümüz: (x - 1) . (y + 3) = k
- 1. Durum: x = 5 ve y = 2 için çarpımı bulalım.
(5 - 1) . (2 + 3) ➡ 4 . 5 = 20 (Orantı Sabitimiz) - 2. Durum: y = 7 iken x'i bulalım. Çarpım yine 20 olmak zorundadır.
(x - 1) . (7 + 3) = 20 - (x - 1) . 10 = 20
- x - 1 = 2 ➡ x = 3
360 TL tutarındaki bir para 3, 4 ve 5 yaşlarındaki üç çocuğa yaşlarıyla orantılı olarak paylaştırılıyor.
Buna göre, en fazla para alan çocuk kaç TL almıştır?
Çözümü Göster
Soruda sadece "orantılı" denmiş. Kural gereği bunun Doğru Orantı olduğunu anlıyoruz.
Doğru orantıda sayılara direkt k'yı yapıştırırız:
- 1. Çocuk (3 yaşında): 3k TL alır.
- 2. Çocuk (4 yaşında): 4k TL alır.
- 3. Çocuk (5 yaşında): 5k TL alır.
Toplam para 360 TL. Hepsini toplayıp eşitleyelim:
3k + 4k + 5k = 360
12k = 360 ➡ k = 30
En fazla para alan çocuk 5k alandır.
5k = 5 . 30 = 150 TL
130 adet ceviz, 2, 3 ve 4 yaşlarındaki üç çocuğa yaşlarıyla ters orantılı olarak paylaştırılıyor.
Buna göre, en az ceviz alan çocuk kaç ceviz almıştır?
Çözümü Göster
Ters orantıda "çarpımlar eşittir" mantığını kullanırız. Çocukların aldığı ceviz miktarına A, B, C diyelim.
2 . A = 3 . B = 4 . C
Katsayıları (2, 3, 4) hangi sayıda eşitleyebiliriz? EKOK'ları olan 12'de!
Bütün denklemi 12k'ya eşitleyelim:
- 2 . A = 12k ➡ A = 6k (2 yaşındaki çocuğun aldığı)
- 3 . B = 12k ➡ B = 4k (3 yaşındaki çocuğun aldığı)
- 4 . C = 12k ➡ C = 3k (4 yaşındaki çocuğun aldığı)
(Dikkat ettin mi? Yaşı küçük olan en çok cevizi aldı. Ters orantının mantığı budur.)
Toplam ceviz 130 adet:
6k + 4k + 3k = 130
13k = 130 ➡ k = 10
En az ceviz alan C çocuğudur (3k).
3k = 3 . 10 = 30 ceviz.
Birbirini çeviren (döndüren) iki dişli çarkta toplam 60 diş vardır. Büyük çark 2 devir (tur) yaptığında, küçük çark 3 devir yapmaktadır.
Buna göre, küçük çarkta kaç diş vardır?
Çözümü Göster
Çarkların diş sayılarına Büyük(B) ve Küçük(K) diyelim. Ters orantı olduğu için devirlerle çarpacağız:
2 . B = 3 . K
Eşitliği k'lamak için katsayıları çaprazlıyoruz (EKOK'ları 6k):
- Büyük çarkın dişi: B = 3k
- Küçük çarkın dişi: K = 2k
Toplam diş sayısı 60 olarak verilmiş:
3k + 2k = 60
5k = 60 ➡ k = 12
Soru bizden Küçük çarkı (2k) istiyor:
2 . 12 = 24 diş vardır.
Aynı çalışma kapasitesine sahip 8 işçi bir evi 15 günde bitirebilmektedir.
Şantiye şefi, işverenle yaptığı toplantı sonucu işi hızlandırmaya karar veriyor. İşin 5 günde bitmesi için şantiyeye aynı kapasitede kaç işçi DAHA alınmalıdır?
Çözümü Göster
Önce işi ve zamanı analiz edelim: İşçi sayısı artarsa işin bitme süresi azalır. Demek ki aralarında Ters Orantı var.
Denklemimizi "DÜZ" kuracağız:
Düz Çarpım: 8 . 15 = x . 5
120 = 5x ➡ x = 24 işçi
Bulduğumuz 24, işin 5 günde bitmesi için şantiyede bulunması gereken TOPLAM işçi sayısıdır.
Zaten halihazırda çalışan 8 işçimiz vardı. Toplam 24 işçiye ihtiyacımız var.
Dışarıdan alınacak ek işçi sayısı: 24 - 8 = 16 işçi.
MODÜL 13: BÖLÜM 2 - DOĞRU VE TERS ORANTI
"Birisi Büyürken Diğeri Ne Yapıyor? Bütün Mesele Bu!"
1. İki Kardeşin Hikayesi
📈 Doğru Orantı (D.O.)
İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa (veya azalıyorsa) aralarında doğru orantı vardır.
- İşçi sayısı artarsa, üretilen mal artar.
- Un miktarı artarsa, ekmek sayısı artar.
Matematiksel Karşılığı: BÖLME
"k" Verme Taktiği: a, b, c sayıları sırasıyla 2, 3 ve 4 ile doğru orantılıdır denirse direkt karşılarına k koyarız.
a = 2k, b = 3k, c = 4k
📉 Ters Orantı (T.O.)
İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda azalıyorsa aralarında ters orantı vardır.
- İşçi sayısı artarsa, işin bitme süresi AZALIR.
- Arabanın hızı artarsa, varış süresi AZALIR.
Matematiksel Karşılığı: ÇARPMA
"k" Verme Taktiği: a, b, c sayıları sırasıyla 2, 3 ve 4 ile ters orantılıdır denirse, çarpımlarını eşitleriz (EKOK'ta buluştururuz).
2a = 3b = 4c = 12k ➡ a = 6k, b = 4k, c = 3k
2. Denklem Kurma Taktikleri
Problemlerde orantı kurarken alt alta yazdığımızda, doğru orantıda Çapraz Çarpım, ters orantıda Düz (Karşılıklı) Çarpım yaparız.
Doğru Orantıda ÇAPRAZ
a . x = b . c
Ters Orantıda DÜZ
a . b = c . x
Eğer soruda "A sayısı B sayısı ile orantılıdır" deyip, "Doğru" veya "Ters" olduğunu belirtmiyorsa; matematik dilinde bu kesinlikle DOĞRU ORANTI demektir!
3. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
A sayısı (B + 2) sayısı ile doğru orantılıdır.
A = 12 iken B = 4 olduğuna göre, A = 20 iken B kaçtır?
Çözümü Göster
Doğru orantı olduğu için bölümleri (A / B+2) sabittir.
- 1. Durum: A = 12, B = 4 ➡ Formül: 12 / (4+2) = 12 / 6 = 2 (Orantı Sabitimiz k)
- 2. Durum: A = 20, B = ? ➡ Formül: 20 / (B+2) = 2
İçler dışlar çarpımı yapalım:
2 . (B + 2) = 20
B + 2 = 10 ➡ B = 8
(x - 1) sayısı ile (y + 3) sayısı ters orantılıdır.
x = 5 iken y = 2 olduğuna göre, y = 7 iken x kaçtır?
Çözümü Göster
Ters orantı olduğu için çarpımları sabit olmak zorundadır. Formülümüz: (x - 1) . (y + 3) = k
- 1. Durum: x = 5 ve y = 2 için çarpımı bulalım.
(5 - 1) . (2 + 3) ➡ 4 . 5 = 20 (Orantı Sabitimiz) - 2. Durum: y = 7 iken x'i bulalım. Çarpım yine 20 olmak zorundadır.
(x - 1) . (7 + 3) = 20 - (x - 1) . 10 = 20
- x - 1 = 2 ➡ x = 3
360 TL tutarındaki bir para 3, 4 ve 5 yaşlarındaki üç çocuğa yaşlarıyla orantılı olarak paylaştırılıyor.
Buna göre, en fazla para alan çocuk kaç TL almıştır?
Çözümü Göster
Soruda sadece "orantılı" denmiş. Kural gereği bunun Doğru Orantı olduğunu anlıyoruz.
Doğru orantıda sayılara direkt k'yı yapıştırırız:
- 1. Çocuk (3 yaşında): 3k TL alır.
- 2. Çocuk (4 yaşında): 4k TL alır.
- 3. Çocuk (5 yaşında): 5k TL alır.
Toplam para 360 TL. Hepsini toplayıp eşitleyelim:
3k + 4k + 5k = 360
12k = 360 ➡ k = 30
En fazla para alan çocuk 5k alandır.
5k = 5 . 30 = 150 TL
130 adet ceviz, 2, 3 ve 4 yaşlarındaki üç çocuğa yaşlarıyla ters orantılı olarak paylaştırılıyor.
Buna göre, en az ceviz alan çocuk kaç ceviz almıştır?
Çözümü Göster
Ters orantıda "çarpımlar eşittir" mantığını kullanırız. Çocukların aldığı ceviz miktarına A, B, C diyelim.
2 . A = 3 . B = 4 . C
Katsayıları (2, 3, 4) hangi sayıda eşitleyebiliriz? EKOK'ları olan 12'de!
Bütün denklemi 12k'ya eşitleyelim:
- 2 . A = 12k ➡ A = 6k (2 yaşındaki çocuğun aldığı)
- 3 . B = 12k ➡ B = 4k (3 yaşındaki çocuğun aldığı)
- 4 . C = 12k ➡ C = 3k (4 yaşındaki çocuğun aldığı)
(Dikkat ettin mi? Yaşı küçük olan en çok cevizi aldı. Ters orantının mantığı budur.)
Toplam ceviz 130 adet:
6k + 4k + 3k = 130
13k = 130 ➡ k = 10
En az ceviz alan C çocuğudur (3k).
3k = 3 . 10 = 30 ceviz.
Birbirini çeviren (döndüren) iki dişli çarkta toplam 60 diş vardır. Büyük çark 2 devir (tur) yaptığında, küçük çark 3 devir yapmaktadır.
Buna göre, küçük çarkta kaç diş vardır?
Çözümü Göster
Çarkların diş sayılarına Büyük(B) ve Küçük(K) diyelim. Ters orantı olduğu için devirlerle çarpacağız:
2 . B = 3 . K
Eşitliği k'lamak için katsayıları çaprazlıyoruz (EKOK'ları 6k):
- Büyük çarkın dişi: B = 3k
- Küçük çarkın dişi: K = 2k
Toplam diş sayısı 60 olarak verilmiş:
3k + 2k = 60
5k = 60 ➡ k = 12
Soru bizden Küçük çarkı (2k) istiyor:
2 . 12 = 24 diş vardır.
Aynı çalışma kapasitesine sahip 8 işçi bir evi 15 günde bitirebilmektedir.
Şantiye şefi, işverenle yaptığı toplantı sonucu işi hızlandırmaya karar veriyor. İşin 5 günde bitmesi için şantiyeye aynı kapasitede kaç işçi DAHA alınmalıdır?
Çözümü Göster
Önce işi ve zamanı analiz edelim: İşçi sayısı artarsa işin bitme süresi azalır. Demek ki aralarında Ters Orantı var.
Denklemimizi "DÜZ" kuracağız:
Düz Çarpım: 8 . 15 = x . 5
120 = 5x ➡ x = 24 işçi
Bulduğumuz 24, işin 5 günde bitmesi için şantiyede bulunması gereken TOPLAM işçi sayısıdır.
Zaten halihazırda çalışan 8 işçimiz vardı. Toplam 24 işçiye ihtiyacımız var.
Dışarıdan alınacak ek işçi sayısı: 24 - 8 = 16 işçi.