MODÜL 8: BÖLÜM 1 - EŞİTSİZLİK ÖZELLİKLERİ
"Terazi Bozulmasın, Yön Şaşırmasın!"
1. Temel Kurallar
Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya çıkarılırsa YÖN DEĞİŞMEZ.
x < y ise;
x + a < y + a
Eşitsizliğin her iki tarafı POZİTİF bir sayı ile çarpılır veya bölünürse YÖN DEĞİŞMEZ.
2x < 10 ➡ x < 5
Eşitsizliğin her iki tarafı NEGATİF bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik YÖN DEĞİŞTİRİR!
Küçüktür (<) ise Büyüktür (>) olur.
-2x < 10 ➡ x > -5
Aynı işaretli iki sayı ters çevrilirse (pay ve payda yer değiştirirse) eşitsizlik yön değiştirir.
2 < 5 ➡ 1/2 > 1/5
Eşitsizlikler aynı yönlü olmak şartıyla taraf tarafa TOPLANABİLİR.
DİKKAT: Taraf tarafa ÇIKARMA veya ÇARPMA/BÖLME YAPILMAZ!
2. Örnek Soru Çözümleri
3x - 7 < 14 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Amacımız x'i yalnız bırakmak (Denklem çözer gibi).
1. Adım: -7'yi karşıya at (+7 olarak geçer).
3x < 14 + 7
3x < 21
2. Adım: Her iki tarafı 3'e böl (3 pozitif olduğu için yön değişmez).
x < 7
Cevap: x < 7
10 - 2x ≤ 22 eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
Çözümü Göster
1. Adım: 10'u karşıya at (-10 olarak).
-2x ≤ 22 - 10
-2x ≤ 12
2. Adım: Her iki tarafı x'in katsayısı olan -2'ye böl.
x ≥ 12 / (-2)
x ≥ -6
x ve y pozitif tam sayılardır.
1/7 < 1/x < 1/3
olduğuna göre, x'in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Kesirlerle uğraşmak zordur. İfadeyi "takla attıralım" (Pay ve paydayı yer değiştirelim).
Kural: Sayılar ters çevrilince eşitsizlik yön değiştirir.
7/1 > x/1 > 3/1
7 > x > 3
x'in alabileceği tam sayılar: 6, 5, 4.
Toplam: 6 + 5 + 4 = 15
-7 < 2x - 3 ≤ 5 eşitsizliğini sağlayan x tam sayıları kaç tanedir?
Çözümü Göster
Ortadaki ifadeyi yalnız bırakmak için işlemleri her üç tarafa da uygularız.
1. Adım: Her tarafa +3 ekle.
-7 + 3 < 2x ≤ 5 + 3
-4 < 2x ≤ 8
2. Adım: Her tarafı 2'ye böl (Yön değişmez).
-2 < x ≤ 4
3. Adım: Tam sayıları bul.
-1, 0, 1, 2, 3, 4 (4 dahil, -2 dahil değil).
Cevap: 6 tane
2 < x < 6 olduğuna göre, -3x + 10 ifadesinin alabileceği en geniş değer aralığı nedir?
Çözümü Göster
Elimizdeki (x)'i, istenen (-3x + 10)'a benzetmeliyiz.
1. Adım: Her tarafı -3 ile çarp (YÖN DEĞİŞTİR!).
2 . (-3) > -3x > 6 . (-3)
-6 > -3x > -18
2. Adım: Her tarafa +10 ekle.
-6 + 10 > -3x + 10 > -18 + 10
4 > -3x + 10 > -8
Cevap: (-8, 4) aralığı.
a < b < 0 olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) a + b < 0
B) a . b > 0
C) a / b > 1
D) a² < b²
Çözümü Göster
Değer vererek kontrol edelim. a = -3, b = -2 olsun (Sıfırdan küçükler).
- A) -3 + (-2) = -5 < 0 (Doğru)
- B) -3 . -2 = +6 > 0 (Doğru, eksi çarpı eksi artıdır)
- C) -3 / -2 = 1.5 > 1 (Doğru, çünkü a mutlak değerce daha büyüktür)
- D) a² = (-3)² = 9, b² = (-2)² = 4.
9 < 4 ifadesi YANLIŞTIR.
Cevap: D
MODÜL 8: BÖLÜM 1 - EŞİTSİZLİK ÖZELLİKLERİ
"Terazi Bozulmasın, Yön Şaşırmasın!"
1. Temel Kurallar
Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya çıkarılırsa YÖN DEĞİŞMEZ.
x < y ise;
x + a < y + a
Eşitsizliğin her iki tarafı POZİTİF bir sayı ile çarpılır veya bölünürse YÖN DEĞİŞMEZ.
2x < 10 ➡ x < 5
Eşitsizliğin her iki tarafı NEGATİF bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik YÖN DEĞİŞTİRİR!
Küçüktür (<) ise Büyüktür (>) olur.
-2x < 10 ➡ x > -5
Aynı işaretli iki sayı ters çevrilirse (pay ve payda yer değiştirirse) eşitsizlik yön değiştirir.
2 < 5 ➡ 1/2 > 1/5
Eşitsizlikler aynı yönlü olmak şartıyla taraf tarafa TOPLANABİLİR.
DİKKAT: Taraf tarafa ÇIKARMA veya ÇARPMA/BÖLME YAPILMAZ!
2. Örnek Soru Çözümleri
3x - 7 < 14 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Amacımız x'i yalnız bırakmak (Denklem çözer gibi).
1. Adım: -7'yi karşıya at (+7 olarak geçer).
3x < 14 + 7
3x < 21
2. Adım: Her iki tarafı 3'e böl (3 pozitif olduğu için yön değişmez).
x < 7
Cevap: x < 7
10 - 2x ≤ 22 eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
Çözümü Göster
1. Adım: 10'u karşıya at (-10 olarak).
-2x ≤ 22 - 10
-2x ≤ 12
2. Adım: Her iki tarafı x'in katsayısı olan -2'ye böl.
x ≥ 12 / (-2)
x ≥ -6
x ve y pozitif tam sayılardır.
1/7 < 1/x < 1/3
olduğuna göre, x'in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Kesirlerle uğraşmak zordur. İfadeyi "takla attıralım" (Pay ve paydayı yer değiştirelim).
Kural: Sayılar ters çevrilince eşitsizlik yön değiştirir.
7/1 > x/1 > 3/1
7 > x > 3
x'in alabileceği tam sayılar: 6, 5, 4.
Toplam: 6 + 5 + 4 = 15
-7 < 2x - 3 ≤ 5 eşitsizliğini sağlayan x tam sayıları kaç tanedir?
Çözümü Göster
Ortadaki ifadeyi yalnız bırakmak için işlemleri her üç tarafa da uygularız.
1. Adım: Her tarafa +3 ekle.
-7 + 3 < 2x ≤ 5 + 3
-4 < 2x ≤ 8
2. Adım: Her tarafı 2'ye böl (Yön değişmez).
-2 < x ≤ 4
3. Adım: Tam sayıları bul.
-1, 0, 1, 2, 3, 4 (4 dahil, -2 dahil değil).
Cevap: 6 tane
2 < x < 6 olduğuna göre, -3x + 10 ifadesinin alabileceği en geniş değer aralığı nedir?
Çözümü Göster
Elimizdeki (x)'i, istenen (-3x + 10)'a benzetmeliyiz.
1. Adım: Her tarafı -3 ile çarp (YÖN DEĞİŞTİR!).
2 . (-3) > -3x > 6 . (-3)
-6 > -3x > -18
2. Adım: Her tarafa +10 ekle.
-6 + 10 > -3x + 10 > -18 + 10
4 > -3x + 10 > -8
Cevap: (-8, 4) aralığı.
a < b < 0 olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) a + b < 0
B) a . b > 0
C) a / b > 1
D) a² < b²
Çözümü Göster
Değer vererek kontrol edelim. a = -3, b = -2 olsun (Sıfırdan küçükler).
- A) -3 + (-2) = -5 < 0 (Doğru)
- B) -3 . -2 = +6 > 0 (Doğru, eksi çarpı eksi artıdır)
- C) -3 / -2 = 1.5 > 1 (Doğru, çünkü a mutlak değerce daha büyüktür)
- D) a² = (-3)² = 9, b² = (-2)² = 4.
9 < 4 ifadesi YANLIŞTIR.
Cevap: D