MODÜL 12: BÖLÜM 2 - GRUPLANDIRARAK ÇARPANLARA AYIRMA
"Takım Çalışması: Parçala, Ortak Bul ve Birleştir!"
1. Ne Zaman Kullanılır?
Eğer soruda en az 4 tane terim varsa ve bu 4 terimin hepsinde birden ortak olan hiçbir harf veya sayı yoksa, "Gruplandırma" taktiği kullanılır.
- Adım 1 (Takım Kurma): Dört terimi, aralarında ortak çarpan bulunacak şekilde ikili takımlara ayır.
- Adım 2 (Kısmi Parantez): Her takımı kendi içinde ayrı ayrı ortak çarpan parantezine al.
- Adım 3 (Büyük Buluşma): Eğer işlemleri doğru yaptıysan, parantez içindeki ifadeler tıpatıp aynı çıkacaktır! Çıkan bu yeni (ortak blok) parantezine alarak işlemi bitir.
2. Temel Şablon
ax + ay + bx + by
↓ (Takımlara Ayır) ↓
(ax + ay) + (bx + by)
↓ (Ayrı Ayrı Paranteze Al) ↓
a(x + y) + b(x + y)
↓ (Ortak olan "x+y" bloğunu başa çek) ↓
(x + y)(a + b)
3. İşaret (Eksi) Tuzağı
Eğer 2. takımı paranteze alırken dışarıya EKSİLİ (-) bir sayı çekersen, o takımın parantezinin içindeki işaret TAM TERSİNE dönmek zorundadır!
Eğer içini (a+2) yazarsan, geri dağıttığında -3a-6 olur ki bu yanlıştır.
4. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
İfadeyi ilk ikisi ve son ikisi olacak şekilde takımlara ayıralım.
- 1. Takım: (mx + my) ➡ "m"ler ortak. ➡ m(x + y)
- 2. Takım: (nx + ny) ➡ "n"ler ortak. ➡ n(x + y)
Şimdi elde ettiklerimizi birleştirelim:
m(x + y) + n(x + y)
Gördüğümüz gibi (x + y) blokları tıpatıp aynı çıktı! (Başardık!)
Şimdi (x + y) parantezine alırsak, dışarıda kalan "m" ve "+n" yi diğer paranteze koyarız.
Cevap: (x + y)(m + n)
ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali nedir?
Çözümü Göster
Yine 4 terim var. İlk ikisi ve son ikisi olarak bölelim.
- 1. Takım: (x³ + 2x²) ➡ İkisinde de en az x² var. x² parantezine alalım:
x2(x + 2) - 2. Takım: (-3x - 6) ➡ İkisi de 3'e bölünür. Dikkat, başlarında eksi var! -3 parantezine alalım. Eksi dışarı çıkınca içeridekiler artıya döner:
-3(x + 2)
İfadeyi toparlayalım:
x2(x + 2) - 3(x + 2)
Ortak olan (x + 2) bloğunu başa çekip, kalanları ikinci paranteze dolduralım.
Cevap: (x + 2)(x2 - 3)
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + y B) x - 1 C) x + 1 D) y - 1
Çözümü Göster
Gruplandırmamızı yapalım:
- 1. Takım: (x² - xy) ➡ "x" parantezine al: x(x - y)
- 2. Takım: (x - y) ➡ Bunların ortak bir harfi veya sayısı yok gibi duruyor. Ama her ifadenin gizli bir "1" çarpanı vardır! O halde "+1" parantezine alalım: +1(x - y)
İfadeyi birleştirelim:
x(x - y) + 1(x - y)
Şimdi ortak olan (x - y) bloğunu dışarı çekelim. Birinci kısımdan "x", ikinci kısımdan gizli "+1" kalır.
Çarpanlara Ayrılmış Hali: (x - y)(x + 1)
Seçeneklerde (x + 1) çarpanı bulunmaktadır. Cevap: C
ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali nedir?
Çözümü Göster
Eğer ilk ikisi ve son ikisi mantıklı bir takım oluşturmuyorsa (ortak bir şey çıkmıyorsa), terimlerin yerini değiştirebiliriz!
- (xy) ile (-2a) ortak çarpanı yoktur. Demek ki sıra hatalı.
- "y" leri bir araya, "a" ları bir araya toplayalım.
İfadeyi şöyle yeniden dizelim: xy - 2y + ax - 2a
Şimdi gruplandıralım:
- 1. Takım: (xy - 2y) ➡ "y" parantezi: y(x - 2)
- 2. Takım: (ax - 2a) ➡ "a" parantezi: +a(x - 2)
Birleştirelim: y(x - 2) + a(x - 2)
Ortak blok (x - 2) oldu.
Cevap: (x - 2)(y + a)
ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster
Pay (üst taraf) kısmında 4 terim var. Hemen gruplandıralım!
- (ax - ay) ➡ "a" parantezine al: a(x - y)
- (bx - by) ➡ "+b" parantezine al: +b(x - y)
Pay kısmı şuna dönüştü: a(x - y) + b(x - y)
Bunu da (x - y) bloğu parantezine alalım: (x - y)(a + b)
Şimdi kesri tekrar yazalım:
Paydaki (a + b) çarpımı ile paydadaki (a + b) aynıdır ve birbirini yok eder (sadeleşir).
Geriye sadece birinci çarpan kalır.
Cevap: x - y
Bir tarlanın alanı matematiksel olarak xy + 3x + 2y + 6 metrekare formülü ile ifade edilmektedir.
Bu tarla dikdörtgen şeklinde olduğuna göre, bu tarlanın çevre uzunluğunu x ve y cinsinden bulunuz.
Çözümü Göster
Dikdörtgenin Alanı = (Kısa Kenar) . (Uzun Kenar)
Demek ki verilen 4 terimli ifadeyi çarpanlarına (iki parantezin çarpımına) ayırmalıyız ki kenarları bulalım.
- Gruplama yapalım: (xy + 3x) ve (+2y + 6)
- İlk grup: "x" parantezine al ➡ x(y + 3)
- İkinci grup: "2" parantezine al (Çünkü 6=2.3) ➡ +2(y + 3)
İfadeyi birleştirip ortak bloğu çekelim:
x(y + 3) + 2(y + 3) = (y + 3)(x + 2)
Kenarları bulduk!
Bir kenarımız (y + 3), diğer kenarımız (x + 2).
Bizden "Çevre" isteniyor. Çevre = 2 . (Kısa Kenar + Uzun Kenar)
Çevre = 2 . (y + 3 + x + 2)
Çevre = 2 . (x + y + 5)
Dağıtalım:
Cevap: 2x + 2y + 10
MODÜL 12: BÖLÜM 2 - GRUPLANDIRARAK ÇARPANLARA AYIRMA
"Takım Çalışması: Parçala, Ortak Bul ve Birleştir!"
1. Ne Zaman Kullanılır?
Eğer soruda en az 4 tane terim varsa ve bu 4 terimin hepsinde birden ortak olan hiçbir harf veya sayı yoksa, "Gruplandırma" taktiği kullanılır.
- Adım 1 (Takım Kurma): Dört terimi, aralarında ortak çarpan bulunacak şekilde ikili takımlara ayır.
- Adım 2 (Kısmi Parantez): Her takımı kendi içinde ayrı ayrı ortak çarpan parantezine al.
- Adım 3 (Büyük Buluşma): Eğer işlemleri doğru yaptıysan, parantez içindeki ifadeler tıpatıp aynı çıkacaktır! Çıkan bu yeni (ortak blok) parantezine alarak işlemi bitir.
2. Temel Şablon
ax + ay + bx + by
↓ (Takımlara Ayır) ↓
(ax + ay) + (bx + by)
↓ (Ayrı Ayrı Paranteze Al) ↓
a(x + y) + b(x + y)
↓ (Ortak olan "x+y" bloğunu başa çek) ↓
(x + y)(a + b)
3. İşaret (Eksi) Tuzağı
Eğer 2. takımı paranteze alırken dışarıya EKSİLİ (-) bir sayı çekersen, o takımın parantezinin içindeki işaret TAM TERSİNE dönmek zorundadır!
Eğer içini (a+2) yazarsan, geri dağıttığında -3a-6 olur ki bu yanlıştır.
4. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
İfadeyi ilk ikisi ve son ikisi olacak şekilde takımlara ayıralım.
- 1. Takım: (mx + my) ➡ "m"ler ortak. ➡ m(x + y)
- 2. Takım: (nx + ny) ➡ "n"ler ortak. ➡ n(x + y)
Şimdi elde ettiklerimizi birleştirelim:
m(x + y) + n(x + y)
Gördüğümüz gibi (x + y) blokları tıpatıp aynı çıktı! (Başardık!)
Şimdi (x + y) parantezine alırsak, dışarıda kalan "m" ve "+n" yi diğer paranteze koyarız.
Cevap: (x + y)(m + n)
ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali nedir?
Çözümü Göster
Yine 4 terim var. İlk ikisi ve son ikisi olarak bölelim.
- 1. Takım: (x³ + 2x²) ➡ İkisinde de en az x² var. x² parantezine alalım:
x2(x + 2) - 2. Takım: (-3x - 6) ➡ İkisi de 3'e bölünür. Dikkat, başlarında eksi var! -3 parantezine alalım. Eksi dışarı çıkınca içeridekiler artıya döner:
-3(x + 2)
İfadeyi toparlayalım:
x2(x + 2) - 3(x + 2)
Ortak olan (x + 2) bloğunu başa çekip, kalanları ikinci paranteze dolduralım.
Cevap: (x + 2)(x2 - 3)
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + y B) x - 1 C) x + 1 D) y - 1
Çözümü Göster
Gruplandırmamızı yapalım:
- 1. Takım: (x² - xy) ➡ "x" parantezine al: x(x - y)
- 2. Takım: (x - y) ➡ Bunların ortak bir harfi veya sayısı yok gibi duruyor. Ama her ifadenin gizli bir "1" çarpanı vardır! O halde "+1" parantezine alalım: +1(x - y)
İfadeyi birleştirelim:
x(x - y) + 1(x - y)
Şimdi ortak olan (x - y) bloğunu dışarı çekelim. Birinci kısımdan "x", ikinci kısımdan gizli "+1" kalır.
Çarpanlara Ayrılmış Hali: (x - y)(x + 1)
Seçeneklerde (x + 1) çarpanı bulunmaktadır. Cevap: C
ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali nedir?
Çözümü Göster
Eğer ilk ikisi ve son ikisi mantıklı bir takım oluşturmuyorsa (ortak bir şey çıkmıyorsa), terimlerin yerini değiştirebiliriz!
- (xy) ile (-2a) ortak çarpanı yoktur. Demek ki sıra hatalı.
- "y" leri bir araya, "a" ları bir araya toplayalım.
İfadeyi şöyle yeniden dizelim: xy - 2y + ax - 2a
Şimdi gruplandıralım:
- 1. Takım: (xy - 2y) ➡ "y" parantezi: y(x - 2)
- 2. Takım: (ax - 2a) ➡ "a" parantezi: +a(x - 2)
Birleştirelim: y(x - 2) + a(x - 2)
Ortak blok (x - 2) oldu.
Cevap: (x - 2)(y + a)
ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster
Pay (üst taraf) kısmında 4 terim var. Hemen gruplandıralım!
- (ax - ay) ➡ "a" parantezine al: a(x - y)
- (bx - by) ➡ "+b" parantezine al: +b(x - y)
Pay kısmı şuna dönüştü: a(x - y) + b(x - y)
Bunu da (x - y) bloğu parantezine alalım: (x - y)(a + b)
Şimdi kesri tekrar yazalım:
Paydaki (a + b) çarpımı ile paydadaki (a + b) aynıdır ve birbirini yok eder (sadeleşir).
Geriye sadece birinci çarpan kalır.
Cevap: x - y
Bir tarlanın alanı matematiksel olarak xy + 3x + 2y + 6 metrekare formülü ile ifade edilmektedir.
Bu tarla dikdörtgen şeklinde olduğuna göre, bu tarlanın çevre uzunluğunu x ve y cinsinden bulunuz.
Çözümü Göster
Dikdörtgenin Alanı = (Kısa Kenar) . (Uzun Kenar)
Demek ki verilen 4 terimli ifadeyi çarpanlarına (iki parantezin çarpımına) ayırmalıyız ki kenarları bulalım.
- Gruplama yapalım: (xy + 3x) ve (+2y + 6)
- İlk grup: "x" parantezine al ➡ x(y + 3)
- İkinci grup: "2" parantezine al (Çünkü 6=2.3) ➡ +2(y + 3)
İfadeyi birleştirip ortak bloğu çekelim:
x(y + 3) + 2(y + 3) = (y + 3)(x + 2)
Kenarları bulduk!
Bir kenarımız (y + 3), diğer kenarımız (x + 2).
Bizden "Çevre" isteniyor. Çevre = 2 . (Kısa Kenar + Uzun Kenar)
Çevre = 2 . (y + 3 + x + 2)
Çevre = 2 . (x + y + 5)
Dağıtalım:
Cevap: 2x + 2y + 10