MODÜL 12: BÖLÜM 4 - İKİ KARE FARKI ÖZDEŞLİĞİ
"Matematiğin En Ünlü İkizi: Bir Eksilisi, Bir Artılısı!"
1. Kuralın Kendisi
Eğer iki sayının karesi alınmış ve birbirinden çıkarılmışsa, bu sayıları uzun uzun hesaplamana gerek yoktur. Tabandaki sayıları birbiriyle bir topla, bir çıkar ve bunları çarp!
Sihirli Formül
Bazen sorularda bize çarpanlarına ayrılmış hali (x - 5)(x + 5) olarak verilir. İfadeler aynı, sadece aradaki işaret farklıysa hiç dağıtma işlemiyle uğraşma. Kural belli:
Birincinin Karesi EKSİ İkincinin Karesi
İki kare farkının harika bir formülü vardır evet, ama İki Kare Toplamı'nın (a² + b²) doğrudan çarpanlara ayrılmış bir formülü YOKTUR!
Lütfen arada (+) varken bu kuralı uygulamaya çalışma!
2. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
105'in ve 95'in karesini almak amale işidir (çok vakit alır). Pay kısmında hemen İki Kare Farkı formülünü uygulayalım:
- Pay kısmı: (105 - 95) . (105 + 95)
- Çıkarmayı yap: 10
- Toplamayı yap: 200
- Pay kısmı şuna dönüştü: 10 . 200
Şimdi kesri tekrar yazalım:
200'ler birbirini sadeleştirir (götürür).
Cevap: 10
ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
Dikkat etmemiz gereken tek şey, sayıların da karekökünü almayı unutmamaktır. (Yani sadece x ve y'ye odaklanıp 9 ve 16'yı aynen yazmamalıyız).
- 9x² neyin karesidir? ➡ (3x)'in.
- 16y² neyin karesidir? ➡ (4y)'nin.
Tabanlarımızı bulduk: 3x ve 4y. Kural neydi? Bir eksilisi, bir artılısı.
Cevap: (3x - 4y) . (3x + 4y)
a ve b pozitif tam sayılardır.
olduğuna göre, a . b çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Bu soru tipinde altın kural, karşıdaki sayının Asal Sayı olmasıdır. (17 asaldır, sadece 1 ve 17'ye bölünür).
- İki kare farkını açalım: (a - b) . (a + b) = 17
- Hangi iki tam sayının çarpımı 17 yapar? Sadece 1 ve 17.
- Mantıken farkları (a - b) küçük olana yani 1'e; toplamları (a + b) büyük olana yani 17'ye eşit olmak zorundadır.
Denklem sistemini çözelim (Taraf tarafa toplama):
a - b = 1
a + b = 17
----------- (Topla)
2a = 18 ➡ a = 9
a=9 ise, 9'dan kaç çıkarsa 1 kalır? b = 8
Bizden çarpımları isteniyor: 9 . 8 = 72.
ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster
Kesirlerde sadeleştirme yapmak için pay ve paydayı ayrı ayrı çarpım durumuna getirmeliyiz (Çarpanlarına ayırmalıyız).
- Pay (Üst Kısım): x2 - 25 ifadesi iki kare farkıdır. (25, 5'in karesidir).
Açılımı: (x - 5)(x + 5) - Payda (Alt Kısım): x2 + 5x ifadesinde iki kare farkı yok! Burada Bölüm 1'de öğrendiğimiz Ortak Çarpan Parantezi var. "x"ler ortak.
Açılımı: x(x + 5)
Şimdi kesri yeni halleriyle yazalım:
Üstteki (x + 5) ile alttaki (x + 5) birbirini yok eder (sadeleşir).
Cevap:
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisi değildir?
A) 2x B) x - 3 C) x + 3 D) x - 9
Çözümü Göster
Bu ifadede doğrudan "İki Kare Farkı" göremiyoruz çünkü x³ var. Demek ki önce temizlik (Ortak Çarpan Parantezi) yapmalıyız!
- Her iki terimde de 2 ve x ortaktır. İfadeyi 2x parantezine alalım.
- 2x(x2 - 9)
İşlem bitti mi? Hayır! Parantezin içi (x² - 9) İki Kare Farkı diye bağırıyor (9, 3'ün karesidir).
- (x² - 9)'u açalım: (x - 3)(x + 3)
İfadenin en son çarpanlara ayrılmış hali:
2x . (x - 3) . (x + 3)
Seçeneklere baktığımızda 2x var, (x - 3) var, (x + 3) var. Ama (x - 9) diye bir çarpan yoktur.
Cevap: D
Bir kenarı "a" cm olan kare şeklindeki tahta bir levhanın köşesinden, bir kenarı "b" cm olan kare şeklinde küçük bir parça kesilip atılıyor.
Buna göre, geriye kalan boyalı bölgenin alanını veren cebirsel ifadenin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
Çözümü Göster
Yeni nesil sorularda şekli (veya metni) matematiğe çevirmek en önemli adımdır.
- Büyük levhanın alanı (kare olduğu için): a2
- Kesilip atılan küçük parçanın alanı (o da kare): b2
Büyük alandan, atılan (çıkarılan) alanı çıkarırsak geriye kalan alanı buluruz:
Kalan Alan = a2 - b2
Soru bizden bunu "çarpanlarına ayrılmış" olarak istemiş. Yani bildiğimiz İki Kare Farkı kuralını uygulayacağız.
Cevap: (a - b) . (a + b)
MODÜL 12: BÖLÜM 4 - İKİ KARE FARKI ÖZDEŞLİĞİ
"Matematiğin En Ünlü İkizi: Bir Eksilisi, Bir Artılısı!"
1. Kuralın Kendisi
Eğer iki sayının karesi alınmış ve birbirinden çıkarılmışsa, bu sayıları uzun uzun hesaplamana gerek yoktur. Tabandaki sayıları birbiriyle bir topla, bir çıkar ve bunları çarp!
Sihirli Formül
Bazen sorularda bize çarpanlarına ayrılmış hali (x - 5)(x + 5) olarak verilir. İfadeler aynı, sadece aradaki işaret farklıysa hiç dağıtma işlemiyle uğraşma. Kural belli:
Birincinin Karesi EKSİ İkincinin Karesi
İki kare farkının harika bir formülü vardır evet, ama İki Kare Toplamı'nın (a² + b²) doğrudan çarpanlara ayrılmış bir formülü YOKTUR!
Lütfen arada (+) varken bu kuralı uygulamaya çalışma!
2. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
105'in ve 95'in karesini almak amale işidir (çok vakit alır). Pay kısmında hemen İki Kare Farkı formülünü uygulayalım:
- Pay kısmı: (105 - 95) . (105 + 95)
- Çıkarmayı yap: 10
- Toplamayı yap: 200
- Pay kısmı şuna dönüştü: 10 . 200
Şimdi kesri tekrar yazalım:
200'ler birbirini sadeleştirir (götürür).
Cevap: 10
ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
Dikkat etmemiz gereken tek şey, sayıların da karekökünü almayı unutmamaktır. (Yani sadece x ve y'ye odaklanıp 9 ve 16'yı aynen yazmamalıyız).
- 9x² neyin karesidir? ➡ (3x)'in.
- 16y² neyin karesidir? ➡ (4y)'nin.
Tabanlarımızı bulduk: 3x ve 4y. Kural neydi? Bir eksilisi, bir artılısı.
Cevap: (3x - 4y) . (3x + 4y)
a ve b pozitif tam sayılardır.
olduğuna göre, a . b çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Bu soru tipinde altın kural, karşıdaki sayının Asal Sayı olmasıdır. (17 asaldır, sadece 1 ve 17'ye bölünür).
- İki kare farkını açalım: (a - b) . (a + b) = 17
- Hangi iki tam sayının çarpımı 17 yapar? Sadece 1 ve 17.
- Mantıken farkları (a - b) küçük olana yani 1'e; toplamları (a + b) büyük olana yani 17'ye eşit olmak zorundadır.
Denklem sistemini çözelim (Taraf tarafa toplama):
a - b = 1
a + b = 17
----------- (Topla)
2a = 18 ➡ a = 9
a=9 ise, 9'dan kaç çıkarsa 1 kalır? b = 8
Bizden çarpımları isteniyor: 9 . 8 = 72.
ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster
Kesirlerde sadeleştirme yapmak için pay ve paydayı ayrı ayrı çarpım durumuna getirmeliyiz (Çarpanlarına ayırmalıyız).
- Pay (Üst Kısım): x2 - 25 ifadesi iki kare farkıdır. (25, 5'in karesidir).
Açılımı: (x - 5)(x + 5) - Payda (Alt Kısım): x2 + 5x ifadesinde iki kare farkı yok! Burada Bölüm 1'de öğrendiğimiz Ortak Çarpan Parantezi var. "x"ler ortak.
Açılımı: x(x + 5)
Şimdi kesri yeni halleriyle yazalım:
Üstteki (x + 5) ile alttaki (x + 5) birbirini yok eder (sadeleşir).
Cevap:
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisi değildir?
A) 2x B) x - 3 C) x + 3 D) x - 9
Çözümü Göster
Bu ifadede doğrudan "İki Kare Farkı" göremiyoruz çünkü x³ var. Demek ki önce temizlik (Ortak Çarpan Parantezi) yapmalıyız!
- Her iki terimde de 2 ve x ortaktır. İfadeyi 2x parantezine alalım.
- 2x(x2 - 9)
İşlem bitti mi? Hayır! Parantezin içi (x² - 9) İki Kare Farkı diye bağırıyor (9, 3'ün karesidir).
- (x² - 9)'u açalım: (x - 3)(x + 3)
İfadenin en son çarpanlara ayrılmış hali:
2x . (x - 3) . (x + 3)
Seçeneklere baktığımızda 2x var, (x - 3) var, (x + 3) var. Ama (x - 9) diye bir çarpan yoktur.
Cevap: D
Bir kenarı "a" cm olan kare şeklindeki tahta bir levhanın köşesinden, bir kenarı "b" cm olan kare şeklinde küçük bir parça kesilip atılıyor.
Buna göre, geriye kalan boyalı bölgenin alanını veren cebirsel ifadenin çarpanlara ayrılmış hali nedir?
Çözümü Göster
Yeni nesil sorularda şekli (veya metni) matematiğe çevirmek en önemli adımdır.
- Büyük levhanın alanı (kare olduğu için): a2
- Kesilip atılan küçük parçanın alanı (o da kare): b2
Büyük alandan, atılan (çıkarılan) alanı çıkarırsak geriye kalan alanı buluruz:
Kalan Alan = a2 - b2
Soru bizden bunu "çarpanlarına ayrılmış" olarak istemiş. Yani bildiğimiz İki Kare Farkı kuralını uygulayacağız.
Cevap: (a - b) . (a + b)