İçereği Atla
KPSS Matematik | Modül 22: Bölüm 3 - Kartezyen Çarpım

MODÜL 22: BÖLÜM 3 - KARTEZYEN ÇARPIM

"X'ler ve Y'lerin Dansı: Eşleşme Başlıyor!"

1. Sıralı İkili Nedir? (x, y)

İki elemanın belli bir öncelik sırasına göre tek bir paket haline getirilmesidir.

Önemli Kural: (a, b) ≠ (b, a). (Sıra önemlidir!)

Örn: Haritadaki (Enlem, Boylam) koordinatlarını ters yazarsan başka bir ülkeye gidersin!

2. Kartezyen Çarpım (A x B)

Birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alarak oluşturulan TÜM sıralı ikililerin kümesidir.

Nasıl Yazılır?

A = {1, 2} ve B = {a, b} olsun.

A x B = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)}

(A'daki her elemanı B'deki herkese dağıtıyoruz).

Eleman Sayısı Formülü

Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının NORMAL ÇARPIMIDIR.

s(A \times B) = s(A) . s(B)
🚨 DEĞİŞME ÖZELLİĞİ YOKTUR!

A x B ≠ B x A

  • A x B'de ilk elemanlar A'dan gelir.
  • B x A'da ilk elemanlar B'den gelir.
  • Ancak eleman sayıları eşittir: s(A x B) = s(B x A)

3. Grafik Çizimi (Koordinat Sistemi)

Kartezyen çarpımı çizmek demek, NOKTALARI İŞARETLEMEK demektir.

  • 1. Küme (A) ➡ Yatay Eksen (x)
  • 2. Küme (B) ➡ Dikey Eksen (y)
1 2 3 A 2 4 B
Grafik: A={1,2,3} ve B={2,4} ise A x B'nin noktaları.

4. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)

KOLAY SORU 1: Eleman Sayısı

s(A) = 5 ve s(B) = 4 ise, s(A x B) kaçtır?

Çözümü Göster

Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımıdır.

s(A \times B) = s(A) . s(B)

s(A x B) = 5 . 4 = 20

(Not: 20 adet (x,y) ikilisi oluşur).

ORTA SORU 2: İşlem Üzerine Dağılma

s(A) = 4
s(B ∪ C) = 12

Buna göre, s[ (A x B) ∪ (A x C) ] kaçtır?

Çözümü Göster

Burada "Ortak Paranteze Alma" kuralını kullanacağız. Matematikteki "x" parantezine almak gibidir.

İfadede (A x ...) kısmı ortaktır.

(A \times B) \cup (A \times C) = A \times (B \cup C)

Şimdi eleman sayılarını çarpalım:

s(A x (B ∪ C)) = s(A) . s(B ∪ C)

= 4 . 12 = 48

ZOR (GRAFİK YORUMLAMA) SORU 3: Alan Hesabı

A = {x : 2 ≤ x ≤ 5, x ∈ R}
B = {y : 1 ≤ y ≤ 4, y ∈ R}

A x B kümesinin analitik düzlemde oluşturduğu bölgenin alanı kaç br² dir?

Çözümü Göster
Bilgi: Eğer kümeler Reel Sayı (R) ise, noktalar yan yana gelip birleşir ve ÇİZGİ oluşturur. İki çizginin çarpımı ise bir ALAN (Dikdörtgen) oluşturur.
  • A Kümesi (Yatay Kenar): 2'den 5'e kadar.
    Uzunluk = 5 - 2 = 3 birim.
  • B Kümesi (Dikey Kenar): 1'den 4'e kadar.
    Uzunluk = 4 - 1 = 3 birim.

Bu iki uzunluk birleşince bir kare (dikdörtgen) oluşturur.

Alan = Yatay Kenar . Dikey Kenar

Alan = 3 . 3 = 9 br²