MODÜL 16: BÖLÜM 2 - KİŞİLER ARASI YAŞ İLİŞKİLERİ
"Kişiler Çoğaldıkça Zaman Daha Hızlı Akar!"
1. Toplamların Değişimi Tuzağı
Yaş problemlerinde yapılan en masum ama en ölümcül hata şudur: Zamanın sadece bir kişi için aktığını sanmak! Eğer bir grubun yaşları toplamı üzerinden işlem yapıyorsan, geçen süreyi KİŞİ SAYISI İLE ÇARPARAK eklemelisin.
"3 kardeşin bugünkü yaşları toplamı 20'dir. 5 yıl sonra yaşları toplamı kaç olur?"
Yanlış Düşünce: 20 + 5 = 25 olur.
Doğru Düşünce: 3 kardeşin HER BİRİ 5 yaş büyüyecektir. Yani gruba eklenecek toplam yaş 3 x 5 = 15'tir.
Doğru cevap: 20 + 15 = 35 olur.
2. Oranların (Katların) Değişimi
"Ali'nin yaşı Veli'nin yaşının 3 katıdır" cümlesini matematikçeye çevirirken; Veli'ye x, Ali'ye 3x deriz. Ancak 5 yıl sonra bu oran aynı kalmaz! Çünkü her ikisi de aynı miktarda (+5) büyüyecektir.
Bugün (Şu An)
Veli: x
Ali: 3x
5 Yıl Sonra
Veli: x + 5
Ali: 3x + 5
(Sakın Ali'ye 8x deme! Çarpma değil, toplama yapılır).
3. "Grup Halindeki" Çocuklar Taktiği
Soruda "3 çocuğunun yaşları toplamı..." diyorsa, sakın çocuklara a, b, c deme! Çocukların yaşları toplamını tek bir insan (T) gibi kabul et. Sadece yıllar ileri/geri giderken o "T"nin yanına (Kişi Sayısı x Yıl) eklemeyi unutma.
4. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
Bir anne ile 2 çocuğunun bugünkü yaşları toplamı 46'dır.
Buna göre, 4 yıl sonra bu ailenin yaşları toplamı kaç olur?
Çözümü Göster
Tuzağa düşmememiz gereken temel bir soru.
- Ailede kaç kişi var? 1 Anne + 2 Çocuk = Toplam 3 kişi var.
- Aradan 4 yıl geçiyor. Bu 3 kişinin her biri 4'er yaş yaşlanacaktır.
- Toplam yaşa eklenecek miktar: 3 kişi . 4 yıl = +12 yaş.
Bugünkü toplam 46 idi.
Yeni Toplam = 46 + 12 = 58 olur.
Bir babanın bugünkü yaşı, oğlunun bugünkü yaşının 4 katıdır.
5 yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katı olacağına göre, baba bugün kaç yaşındadır?
Çözümü Göster
Hemen basit bir "Bugün" ve "5 Yıl Sonra" tablosu (denklemi) kuralım:
- Bugün: Oğul = x, Baba = 4x
- 5 Yıl Sonra: İkisi de 5 yaş büyüyecek.
Oğul = x + 5
Baba = 4x + 5
Soru diyor ki; 5 yıl sonra Babanın yaşı, Oğlunun yaşının 3 katı olacak. O halde oğlunun yaşını (parantez içinde) 3 ile çarpıp babaya eşitleyeceğiz.
3'ü paranteze dağıtalım:
- 4x + 5 = 3x + 15
- 4x - 3x = 15 - 5
- x = 10 (Oğlunun bugünkü yaşı)
Soru bizden babanın bugünkü yaşını (4x) istiyor: 4 . 10 = 40 yaşındadır.
Bir babanın yaşı, 3 çocuğunun yaşları toplamının 3 katıdır.
5 yıl sonra babanın yaşı, çocukların yaşları toplamının 2 katından 5 eksik olacağına göre, babanın bugünkü yaşı kaçtır?
Çözümü Göster
Çocukları ayrı ayrı düşünmüyoruz, onları "Çocuklar Toplamı (Ç)" adında tek bir varlık gibi kabul ediyoruz. Ancak yılları eklerken 3 kişi olduklarını unutmayacağız!
- Bugün:
Çocukların Toplamı = x
Baba = 3x - 5 Yıl Sonra:
Baba 5 yaş büyür: 3x + 5
Çocuklar toplamı ise (3 çocuk x 5 yıl) 15 yaş büyür: x + 15
Şimdi "5 yıl sonraki" denklemi kuralım: Baba, çocukların toplamının 2 katından 5 eksikmiş.
İşlemi toparlayalım (2'yi içeri dağıt):
- 3x + 5 = 2x + 30 - 5
- 3x + 5 = 2x + 25
- 2x'i sola, 5'i sağa atalım: x = 20 (Çocukların bugünkü toplamı).
Soru bizden babanın bugünkü yaşını (3x) istiyor: 3 . 20 = 60 yaşındadır.
Kemal'in yaşı, Mustafa'nın yaşının
10 yıl sonra bu oran
Çözümü Göster
Kesir görünce panik yok! İlk kesir 2/5 ise; Kemal'e 2x, Mustafa'ya 5x diyeceğiz.
- Bugün: Kemal = 2x, Mustafa = 5x
- 10 Yıl Sonra: Kemal = 2x + 10, Mustafa = 5x + 10
10 yıl sonra oran 3/5 olacakmış. Yani 10 yıl sonraki yaşlarını birbirine bölüp 3/5'e eşitleyeceğiz.
İçler dışlar çarpımı (Çapraz çarpım) yapalım:
- 5 . (2x + 10) = 3 . (5x + 10)
- 10x + 50 = 15x + 30
- Küçükleri büyüklerin yanına yollayalım: 50 - 30 = 15x - 10x
- 20 = 5x ➡ x = 4
Soru bizden ikisinin bugünkü yaşları toplamını istiyor.
Bugün yaşları 2x ve 5x idi. Toplamları 7x yapar.
7 . 4 = 28'dir.
Bir anne ile ikiz çocukları bulunmaktadır. Annenin bugünkü yaşı, ikiz çocukların yaşları toplamının 2 katıdır.
İkiz çocuklardan biri annenin bugünkü yaşına geldiğinde, üçünün yaşları toplamı 135 olacağına göre, annenin bugünkü yaşı kaçtır?
Çözümü Göster
Harika bir mantık sorusu! İkiz demek, yaşları aynı olan iki kişi demektir.
- İkizlerden birinin yaşı x olsun. Diğeri de x olur.
- İkizlerin yaşları toplamı: x + x = 2x yapar.
- Anne, bu toplamın 2 katı olduğuna göre: Anne = 2 . 2x = 4x yaşındadır.
Zaman Yolculuğu Başlıyor: "İkizlerden biri annenin bugünkü yaşına (Yani 4x'e) geldiğinde..."
- Çocuğun x olan yaşının 4x olması için aradan tam 3x yıl geçmesi gerekir!
- Bu 3x yıllık sürede herkes büyüyecek:
- Gelecekte 1. İkiz: x + 3x = 4x (Zaten bunu istemiştik).
- Gelecekte 2. İkiz: x + 3x = 4x
- Gelecekte Anne: 4x + 3x = 7x
Gelecekte üçünün yaşları toplamı 135 olacakmış:
15x = 135 ➡ x = 9 (İkizlerin bugünkü yaşı).
Bizden annenin bugünkü yaşı (4x) isteniyor: 4 . 9 = 36 yaşındadır.
Aylin'in yaşı, kardeşi Cengiz'in yaşının 3 katıdır.
Aylin 14 yaşındayken, Cengiz'in doğmasına daha 4 yıl olduğuna göre, Aylin bugün kaç yaşındadır?
Çözümü Göster
Geçmişteki bu bilgi bize aslında aralarındaki yaş farkını veriyor.
- O dönemde Aylin = 14
- Cengiz = -4
- Yaş Farkı = 14 - (-4) = 14 + 4 = 18'dir!
Bölüm 1'den hatırlayalım: Yaş farkı asla değişmez! Yani bugün de aralarında 18 yaş fark vardır.
Sorunun başına dönelim: "Aylin'in yaşı, Cengiz'in yaşının 3 katıdır."
- Bugün Cengiz = x
- Bugün Aylin = 3x
Yaşları farkını 18'e eşitleyelim:
2x = 18 ➡ x = 9 (Cengiz'in bugünkü yaşı).
Aylin'in bugünkü yaşını (3x) arıyoruz: 3 . 9 = 27 yaşındadır.
MODÜL 16: BÖLÜM 2 - KİŞİLER ARASI YAŞ İLİŞKİLERİ
"Kişiler Çoğaldıkça Zaman Daha Hızlı Akar!"
1. Toplamların Değişimi Tuzağı
Yaş problemlerinde yapılan en masum ama en ölümcül hata şudur: Zamanın sadece bir kişi için aktığını sanmak! Eğer bir grubun yaşları toplamı üzerinden işlem yapıyorsan, geçen süreyi KİŞİ SAYISI İLE ÇARPARAK eklemelisin.
"3 kardeşin bugünkü yaşları toplamı 20'dir. 5 yıl sonra yaşları toplamı kaç olur?"
Yanlış Düşünce: 20 + 5 = 25 olur.
Doğru Düşünce: 3 kardeşin HER BİRİ 5 yaş büyüyecektir. Yani gruba eklenecek toplam yaş 3 x 5 = 15'tir.
Doğru cevap: 20 + 15 = 35 olur.
2. Oranların (Katların) Değişimi
"Ali'nin yaşı Veli'nin yaşının 3 katıdır" cümlesini matematikçeye çevirirken; Veli'ye x, Ali'ye 3x deriz. Ancak 5 yıl sonra bu oran aynı kalmaz! Çünkü her ikisi de aynı miktarda (+5) büyüyecektir.
Bugün (Şu An)
Veli: x
Ali: 3x
5 Yıl Sonra
Veli: x + 5
Ali: 3x + 5
(Sakın Ali'ye 8x deme! Çarpma değil, toplama yapılır).
3. "Grup Halindeki" Çocuklar Taktiği
Soruda "3 çocuğunun yaşları toplamı..." diyorsa, sakın çocuklara a, b, c deme! Çocukların yaşları toplamını tek bir insan (T) gibi kabul et. Sadece yıllar ileri/geri giderken o "T"nin yanına (Kişi Sayısı x Yıl) eklemeyi unutma.
4. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
Bir anne ile 2 çocuğunun bugünkü yaşları toplamı 46'dır.
Buna göre, 4 yıl sonra bu ailenin yaşları toplamı kaç olur?
Çözümü Göster
Tuzağa düşmememiz gereken temel bir soru.
- Ailede kaç kişi var? 1 Anne + 2 Çocuk = Toplam 3 kişi var.
- Aradan 4 yıl geçiyor. Bu 3 kişinin her biri 4'er yaş yaşlanacaktır.
- Toplam yaşa eklenecek miktar: 3 kişi . 4 yıl = +12 yaş.
Bugünkü toplam 46 idi.
Yeni Toplam = 46 + 12 = 58 olur.
Bir babanın bugünkü yaşı, oğlunun bugünkü yaşının 4 katıdır.
5 yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katı olacağına göre, baba bugün kaç yaşındadır?
Çözümü Göster
Hemen basit bir "Bugün" ve "5 Yıl Sonra" tablosu (denklemi) kuralım:
- Bugün: Oğul = x, Baba = 4x
- 5 Yıl Sonra: İkisi de 5 yaş büyüyecek.
Oğul = x + 5
Baba = 4x + 5
Soru diyor ki; 5 yıl sonra Babanın yaşı, Oğlunun yaşının 3 katı olacak. O halde oğlunun yaşını (parantez içinde) 3 ile çarpıp babaya eşitleyeceğiz.
3'ü paranteze dağıtalım:
- 4x + 5 = 3x + 15
- 4x - 3x = 15 - 5
- x = 10 (Oğlunun bugünkü yaşı)
Soru bizden babanın bugünkü yaşını (4x) istiyor: 4 . 10 = 40 yaşındadır.
Bir babanın yaşı, 3 çocuğunun yaşları toplamının 3 katıdır.
5 yıl sonra babanın yaşı, çocukların yaşları toplamının 2 katından 5 eksik olacağına göre, babanın bugünkü yaşı kaçtır?
Çözümü Göster
Çocukları ayrı ayrı düşünmüyoruz, onları "Çocuklar Toplamı (Ç)" adında tek bir varlık gibi kabul ediyoruz. Ancak yılları eklerken 3 kişi olduklarını unutmayacağız!
- Bugün:
Çocukların Toplamı = x
Baba = 3x - 5 Yıl Sonra:
Baba 5 yaş büyür: 3x + 5
Çocuklar toplamı ise (3 çocuk x 5 yıl) 15 yaş büyür: x + 15
Şimdi "5 yıl sonraki" denklemi kuralım: Baba, çocukların toplamının 2 katından 5 eksikmiş.
İşlemi toparlayalım (2'yi içeri dağıt):
- 3x + 5 = 2x + 30 - 5
- 3x + 5 = 2x + 25
- 2x'i sola, 5'i sağa atalım: x = 20 (Çocukların bugünkü toplamı).
Soru bizden babanın bugünkü yaşını (3x) istiyor: 3 . 20 = 60 yaşındadır.
Kemal'in yaşı, Mustafa'nın yaşının
10 yıl sonra bu oran
Çözümü Göster
Kesir görünce panik yok! İlk kesir 2/5 ise; Kemal'e 2x, Mustafa'ya 5x diyeceğiz.
- Bugün: Kemal = 2x, Mustafa = 5x
- 10 Yıl Sonra: Kemal = 2x + 10, Mustafa = 5x + 10
10 yıl sonra oran 3/5 olacakmış. Yani 10 yıl sonraki yaşlarını birbirine bölüp 3/5'e eşitleyeceğiz.
İçler dışlar çarpımı (Çapraz çarpım) yapalım:
- 5 . (2x + 10) = 3 . (5x + 10)
- 10x + 50 = 15x + 30
- Küçükleri büyüklerin yanına yollayalım: 50 - 30 = 15x - 10x
- 20 = 5x ➡ x = 4
Soru bizden ikisinin bugünkü yaşları toplamını istiyor.
Bugün yaşları 2x ve 5x idi. Toplamları 7x yapar.
7 . 4 = 28'dir.
Bir anne ile ikiz çocukları bulunmaktadır. Annenin bugünkü yaşı, ikiz çocukların yaşları toplamının 2 katıdır.
İkiz çocuklardan biri annenin bugünkü yaşına geldiğinde, üçünün yaşları toplamı 135 olacağına göre, annenin bugünkü yaşı kaçtır?
Çözümü Göster
Harika bir mantık sorusu! İkiz demek, yaşları aynı olan iki kişi demektir.
- İkizlerden birinin yaşı x olsun. Diğeri de x olur.
- İkizlerin yaşları toplamı: x + x = 2x yapar.
- Anne, bu toplamın 2 katı olduğuna göre: Anne = 2 . 2x = 4x yaşındadır.
Zaman Yolculuğu Başlıyor: "İkizlerden biri annenin bugünkü yaşına (Yani 4x'e) geldiğinde..."
- Çocuğun x olan yaşının 4x olması için aradan tam 3x yıl geçmesi gerekir!
- Bu 3x yıllık sürede herkes büyüyecek:
- Gelecekte 1. İkiz: x + 3x = 4x (Zaten bunu istemiştik).
- Gelecekte 2. İkiz: x + 3x = 4x
- Gelecekte Anne: 4x + 3x = 7x
Gelecekte üçünün yaşları toplamı 135 olacakmış:
15x = 135 ➡ x = 9 (İkizlerin bugünkü yaşı).
Bizden annenin bugünkü yaşı (4x) isteniyor: 4 . 9 = 36 yaşındadır.
Aylin'in yaşı, kardeşi Cengiz'in yaşının 3 katıdır.
Aylin 14 yaşındayken, Cengiz'in doğmasına daha 4 yıl olduğuna göre, Aylin bugün kaç yaşındadır?
Çözümü Göster
Geçmişteki bu bilgi bize aslında aralarındaki yaş farkını veriyor.
- O dönemde Aylin = 14
- Cengiz = -4
- Yaş Farkı = 14 - (-4) = 14 + 4 = 18'dir!
Bölüm 1'den hatırlayalım: Yaş farkı asla değişmez! Yani bugün de aralarında 18 yaş fark vardır.
Sorunun başına dönelim: "Aylin'in yaşı, Cengiz'in yaşının 3 katıdır."
- Bugün Cengiz = x
- Bugün Aylin = 3x
Yaşları farkını 18'e eşitleyelim:
2x = 18 ➡ x = 9 (Cengiz'in bugünkü yaşı).
Aylin'in bugünkü yaşını (3x) arıyoruz: 3 . 9 = 27 yaşındadır.