MODÜL 11: BÖLÜM 1 - KÖK DERECESİ VE TANIM ARALIĞI
"Kökün derecesi tek ise herkes girebilir, çift ise sadece pozitifler!"
1. Kök Derecesi Nedir?
n: Kök Derecesi
x: Kök İçi
GİZLİ İKİ KURALI:
Eğer kökün derecesi (n) yazılmamışsa, orada gizli bir 2 (Karekök) vardır!
2. Tanım Aralığı (Gerçel Sayı Olma Şartı)
Bir köklü ifadenin sonucunun matematiksel olarak hesaplanabilmesi (yani reel/gerçel sayı olabilmesi) için kökün derecesine (n) bakarız. İki kuralımız vardır:
1. ÇİFT Derece (Kaprisli Kök)
Kök derecesi çift ise (2, 4, 6...); içerisi ASLA NEGATİF OLAMAZ. (Sıfır veya sıfırdan büyük olmalıdır).
Örn: √-4 reel sayı değildir.
2. TEK Derece (Rahat Kök)
Kök derecesi tek ise (3, 5, 7...); içerisi HER ŞEY olabilir (Pozitif, negatif, sıfır fark etmez).
Örn: ³√-8 = -2 (Reel sayıdır).
Aynı sorunun içinde hem
Yani direkt x = a diyerek soruyu saniyeler içinde çözebilirsin.
3. Örnek Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir reel (gerçel) sayı belirtmez?
- A) 3√-27
- B) √0
- C) 5√-1
- D) √-16
Çözümü Göster
Reel sayı belirtmemesi için kökün derecesinin ÇİFT, içinin ise NEGATİF olması gerekir.
- A şıkkı: Derece 3 (Tek). İçerisi negatif olabilir. (Reel sayıdır, -3 çıkar).
- B şıkkı: Karekök sıfır 0'dır. (Reel sayıdır).
- C şıkkı: Derece 5 (Tek). İçerisi negatif olabilir. (Reel sayıdır).
- D şıkkı: Derecesi yazılmamış yani 2 (Çift). İçerisi -16 (Negatif). Çift dereceli kökün içi eksi OLAMAZ! (Karmaşık sayı belirtir, reel sayı değildir).
Cevap: D
ifadesi bir reel sayı belirttiğine göre, x'in alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Kökün derecesi yazılmadığı için 2'dir (Çifttir). Çift dereceli köklerin içi 0'dan büyük veya eşit olmak zorundadır.
- 3x - 12 ≥ 0 eşitsizliğini kurarız.
- -12'yi karşıya atalım: 3x ≥ 12
- Her tarafı 3'e bölelim: x ≥ 4
x sayısı 4'e eşit veya 4'ten büyük olmalıdır. Bu şartı sağlayan en küçük tam sayı 4'tür.
Cevap: 4
A sayısı bir gerçel sayı olduğuna göre, x'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
İfadede iki tane çift dereceli kök var (dereceleri 2 ve 4). İkisi için de ayrı ayrı şart yazmalıyız:
- 1. Kök: x - 3 ≥ 0 ➡ x ≥ 3
- 2. Kök: 11 - x ≥ 0 ➡ 11 ≥ x (Yani x ≤ 11)
Bu iki şartı birleştirirsek, x sayısı 3 ile 11 arasında sıkışır:
3 ≤ x ≤ 11
Alabileceği değerler: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 (Toplam 9 terim var).
Gauss veya ardışık toplama: Ortanca terim 7, terim sayısı 9 ➡ 9 x 7 = 63.
ifadesinin bir reel sayı belirtmesi için en geniş tanım aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
Burada iki farklı tehlike (matematiksel sınır) var:
- 1. Tehlike (Kök İçi): Karekökün içi negatif olamaz.
x + 5 ≥ 0 ➡ x ≥ -5
Bunu aralık olarak yazarsak: [-5, ∞) - 2. Tehlike (Kesir Paydası): Matematikte payda ASLA sıfır olamaz!
x - 2 ≠ 0 ➡ x ≠ 2
Bulduğumuz [-5, ∞) aralığının içinde "2" sayısı vardır ve bu sayı sistemi patlatır (tanımsız yapar). Bu yüzden 2'yi o aralıktan atmalıyız.
Cevap: [-5, ∞) \ {2}
Yukarıdaki ifade bir reel sayı olduğuna göre, A kaçtır?
Çözümü Göster
Matematik kurallarını işletelim:
- 1. Köke göre: x - 4 ≥ 0 ➡ x ≥ 4
- 2. Köke göre: 4 - x ≥ 0 ➡ 4 ≥ x (Yani x ≤ 4)
Bir sayı aynı anda hem 4'ten büyük veya eşit, hem de 4'ten küçük veya eşit olamaz. Bunun tek bir yolu vardır: O sayı tam olarak 4'tür! (x = 4)
Soruda x yerine 4 yazalım:
A = 0 + 0 + 8 + 5 = 13
"Reel Makine" isimli bir bilgisayar programı, klavyeden girilen A sayısı için aşağıdaki işlemi yapmaktadır:
Bu program sadece sonucu bir reel (gerçel) sayı çıktığında çalışıp ekrana yazdırmaktadır.
Buna göre programın çalışmasını sağlayan en küçük iki basamaklı doğal sayı kaçtır?
Çözümü Göster
Programın çalışması için sonucun reel sayı çıkması, yani ifadenin tanımsız olmaması gerekir.
- Birinci Kök (Karekök): Derecesi çift olduğu için içerisi negatif olamaz.
A - 8 ≥ 0 ➡ A ≥ 8 olmalıdır. - İkinci Kök (Küp Kök): Derecesi tek (3) olduğu için içi her şey olabilir. (A - 15) üzerinde hiçbir kısıtlama yoktur! A=8 yazsak içi -7 olur ve ³√-7 gayet geçerli bir sayıdır.
Tek şartımız A'nın 8 veya 8'den büyük olmasıdır. (8, 9, 10, 11...)
Soru bizden "en küçük iki basamaklı" olanı istiyor.
Cevap: 10
MODÜL 11: BÖLÜM 1 - KÖK DERECESİ VE TANIM ARALIĞI
"Kökün derecesi tek ise herkes girebilir, çift ise sadece pozitifler!"
1. Kök Derecesi Nedir?
n: Kök Derecesi
x: Kök İçi
GİZLİ İKİ KURALI:
Eğer kökün derecesi (n) yazılmamışsa, orada gizli bir 2 (Karekök) vardır!
2. Tanım Aralığı (Gerçel Sayı Olma Şartı)
Bir köklü ifadenin sonucunun matematiksel olarak hesaplanabilmesi (yani reel/gerçel sayı olabilmesi) için kökün derecesine (n) bakarız. İki kuralımız vardır:
1. ÇİFT Derece (Kaprisli Kök)
Kök derecesi çift ise (2, 4, 6...); içerisi ASLA NEGATİF OLAMAZ. (Sıfır veya sıfırdan büyük olmalıdır).
Örn: √-4 reel sayı değildir.
2. TEK Derece (Rahat Kök)
Kök derecesi tek ise (3, 5, 7...); içerisi HER ŞEY olabilir (Pozitif, negatif, sıfır fark etmez).
Örn: ³√-8 = -2 (Reel sayıdır).
Aynı sorunun içinde hem
Yani direkt x = a diyerek soruyu saniyeler içinde çözebilirsin.
3. Örnek Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir reel (gerçel) sayı belirtmez?
- A) 3√-27
- B) √0
- C) 5√-1
- D) √-16
Çözümü Göster
Reel sayı belirtmemesi için kökün derecesinin ÇİFT, içinin ise NEGATİF olması gerekir.
- A şıkkı: Derece 3 (Tek). İçerisi negatif olabilir. (Reel sayıdır, -3 çıkar).
- B şıkkı: Karekök sıfır 0'dır. (Reel sayıdır).
- C şıkkı: Derece 5 (Tek). İçerisi negatif olabilir. (Reel sayıdır).
- D şıkkı: Derecesi yazılmamış yani 2 (Çift). İçerisi -16 (Negatif). Çift dereceli kökün içi eksi OLAMAZ! (Karmaşık sayı belirtir, reel sayı değildir).
Cevap: D
ifadesi bir reel sayı belirttiğine göre, x'in alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Kökün derecesi yazılmadığı için 2'dir (Çifttir). Çift dereceli köklerin içi 0'dan büyük veya eşit olmak zorundadır.
- 3x - 12 ≥ 0 eşitsizliğini kurarız.
- -12'yi karşıya atalım: 3x ≥ 12
- Her tarafı 3'e bölelim: x ≥ 4
x sayısı 4'e eşit veya 4'ten büyük olmalıdır. Bu şartı sağlayan en küçük tam sayı 4'tür.
Cevap: 4
A sayısı bir gerçel sayı olduğuna göre, x'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
İfadede iki tane çift dereceli kök var (dereceleri 2 ve 4). İkisi için de ayrı ayrı şart yazmalıyız:
- 1. Kök: x - 3 ≥ 0 ➡ x ≥ 3
- 2. Kök: 11 - x ≥ 0 ➡ 11 ≥ x (Yani x ≤ 11)
Bu iki şartı birleştirirsek, x sayısı 3 ile 11 arasında sıkışır:
3 ≤ x ≤ 11
Alabileceği değerler: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 (Toplam 9 terim var).
Gauss veya ardışık toplama: Ortanca terim 7, terim sayısı 9 ➡ 9 x 7 = 63.
ifadesinin bir reel sayı belirtmesi için en geniş tanım aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
Burada iki farklı tehlike (matematiksel sınır) var:
- 1. Tehlike (Kök İçi): Karekökün içi negatif olamaz.
x + 5 ≥ 0 ➡ x ≥ -5
Bunu aralık olarak yazarsak: [-5, ∞) - 2. Tehlike (Kesir Paydası): Matematikte payda ASLA sıfır olamaz!
x - 2 ≠ 0 ➡ x ≠ 2
Bulduğumuz [-5, ∞) aralığının içinde "2" sayısı vardır ve bu sayı sistemi patlatır (tanımsız yapar). Bu yüzden 2'yi o aralıktan atmalıyız.
Cevap: [-5, ∞) \ {2}
Yukarıdaki ifade bir reel sayı olduğuna göre, A kaçtır?
Çözümü Göster
Matematik kurallarını işletelim:
- 1. Köke göre: x - 4 ≥ 0 ➡ x ≥ 4
- 2. Köke göre: 4 - x ≥ 0 ➡ 4 ≥ x (Yani x ≤ 4)
Bir sayı aynı anda hem 4'ten büyük veya eşit, hem de 4'ten küçük veya eşit olamaz. Bunun tek bir yolu vardır: O sayı tam olarak 4'tür! (x = 4)
Soruda x yerine 4 yazalım:
A = 0 + 0 + 8 + 5 = 13
"Reel Makine" isimli bir bilgisayar programı, klavyeden girilen A sayısı için aşağıdaki işlemi yapmaktadır:
Bu program sadece sonucu bir reel (gerçel) sayı çıktığında çalışıp ekrana yazdırmaktadır.
Buna göre programın çalışmasını sağlayan en küçük iki basamaklı doğal sayı kaçtır?
Çözümü Göster
Programın çalışması için sonucun reel sayı çıkması, yani ifadenin tanımsız olmaması gerekir.
- Birinci Kök (Karekök): Derecesi çift olduğu için içerisi negatif olamaz.
A - 8 ≥ 0 ➡ A ≥ 8 olmalıdır. - İkinci Kök (Küp Kök): Derecesi tek (3) olduğu için içi her şey olabilir. (A - 15) üzerinde hiçbir kısıtlama yoktur! A=8 yazsak içi -7 olur ve ³√-7 gayet geçerli bir sayıdır.
Tek şartımız A'nın 8 veya 8'den büyük olmasıdır. (8, 9, 10, 11...)
Soru bizden "en küçük iki basamaklı" olanı istiyor.
Cevap: 10