MODÜL 11: BÖLÜM 6 - KÖKLÜ DENKLEMLER
"Kökten Kurtulmanın Tek Yolu: Her İki Tarafın Gücünü Artırmak!"
1. Kökü Yok Etme Sanatı
Bir denklemi çözerken bilinmeyen ($x$) kökün içindeyse, onu dışarı çıkarmak için her iki tarafın kuvvetini alırız. Kökün derecesi neyse, o kuvveti alırız.
Karekök Varsa Karesini Al
Küp Kök Varsa Küpünü Al
2. En Büyük Tehlike: Yalancı Kökler
Matematikte çift kuvvet aldığınızda (karesini almak gibi), bazen negatif sayıları da pozitife çevirerek aslında var olmayan "Yalancı Kökler" (Ekstra Kökler) üretebilirsiniz.
Çift dereceli köklü (kareköklü vb.) bir denklem çözüyorsanız, bulduğunuz "x" değerini EN BAŞTAKİ İLK DENKLEME koyup denemek zorundasınız.
- 1) Kökün içini negatif mi yapıyor? ➡ İPTAL ET ❌
- 2) Çift dereceli kökün sonucunu negatif bir sayıya mı eşitliyor? ➡ İPTAL ET ❌
(Çünkü karekökün sonucu hiçbir zaman eksili bir sayı çıkamaz!)
3. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Kökten kurtulmak için eşitliğin her iki tarafının karesini (2. kuvvetini) alalım.
- Sol tarafın karesi kökü yok eder: 3x - 2
- Sağ tarafın karesi: 42 = 16
- Oluşan denklem: 3x - 2 = 16
- 3x = 18
- x = 6
Kontrol (Zihinden): x=6 yazarsak içerisi 18-2=16 olur. √16 = 4'tür. Sorun yok! ✅
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Dikkat! Kökün sonucu negatif çıkmış ama kök derecesi 3 (Tek Sayı). Tek dereceli köklerin sonucu negatif olabilir, sıkıntı yok!
Kökten kurtulmak için her iki tarafın küpünü (3. kuvvetini) alacağız.
- Sol taraf: 2x + 5 (Kök kalktı)
- Sağ taraf: (-3)3 = -27
- Denklem: 2x + 5 = -27
- 2x = -32
- x = -16
Cevap: {-16}
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {-2, 3} B) {-2} C) {3} D) {4}
Çözümü Göster
Her iki tarafın karesini alalım:
- Sol taraf: x + 6
- Sağ taraf: x2
- Denklem: x2 - x - 6 = 0 (İkinci dereceden denklem)
- Çarpanlarına ayıralım: Çarpımları -6, toplamları -1 olan sayılar (-3 ve +2).
(x - 3) . (x + 2) = 0 - Aday Kökler: x = 3 ve x = -2
🚨 SAĞLAMA ZAMANI (En Baştaki Denkleme Koyuyoruz):
x = 3 için: √9 = 3 ➡ 3 = 3 (DOĞRU ✅)
x = -2 için: √4 = -2 ➡ 2 = -2 (YANLIŞ ❌ Karekökün sonucu negatif çıkamaz!)
-2 sayısı bir "Yalancı Kök"tür. Onu eliyoruz.
Cevap: C şıkkı {3}
olduğuna göre x kaçtır?
Çözümü Göster
İki farklı yolla çözülebilir. Ya her iki tarafın küpünü alırsın ya da köklü sayıyı üslü sayıya çevirirsin. Biz "Üslüye Çevirme" yöntemini kullanalım (Çünkü tabanlar aynı ailedendir).
Kural: Kökün derecesi, içerideki sayının üssüne bölü (payda) olarak geçer.
- Sol taraf: 2x - 13
- Sağ taraf: 4 = 22
Tabanlar aynı oldu (2). O zaman üsler de eşittir:
- İçler dışlar çarpımı yapalım: x - 1 = 6
- x = 7
Bir trafik kazasını inceleyen polis, aracın fren izinden yola çıkarak hızını tahmin eden şu formülü kullanmaktadır:
V: Aracın hızı (km/sa)
d: Fren izinin uzunluğu (metre)
Olay yerindeki fren izini ölçen polis, aracın kaza anındaki hızını 40 km/sa olarak hesapladığına göre, bu aracın bıraktığı fren izi (d) kaç metredir?
Çözümü Göster
Soruda verilen V (hız) değerini formülde yerine yazarak "d"yi bulacağız.
- 40 = 5√d
Önce köklü ifadeyi yalnız bırakmak için her iki tarafı 5'e bölelim:
- 8 = √d
Kökten kurtulmak için her iki tarafın karesini alalım:
- 82 = (√d)2
- 64 = d
Cevap: Fren izi 64 metredir.
MODÜL 11: BÖLÜM 6 - KÖKLÜ DENKLEMLER
"Kökten Kurtulmanın Tek Yolu: Her İki Tarafın Gücünü Artırmak!"
1. Kökü Yok Etme Sanatı
Bir denklemi çözerken bilinmeyen ($x$) kökün içindeyse, onu dışarı çıkarmak için her iki tarafın kuvvetini alırız. Kökün derecesi neyse, o kuvveti alırız.
Karekök Varsa Karesini Al
Küp Kök Varsa Küpünü Al
2. En Büyük Tehlike: Yalancı Kökler
Matematikte çift kuvvet aldığınızda (karesini almak gibi), bazen negatif sayıları da pozitife çevirerek aslında var olmayan "Yalancı Kökler" (Ekstra Kökler) üretebilirsiniz.
Çift dereceli köklü (kareköklü vb.) bir denklem çözüyorsanız, bulduğunuz "x" değerini EN BAŞTAKİ İLK DENKLEME koyup denemek zorundasınız.
- 1) Kökün içini negatif mi yapıyor? ➡ İPTAL ET ❌
- 2) Çift dereceli kökün sonucunu negatif bir sayıya mı eşitliyor? ➡ İPTAL ET ❌
(Çünkü karekökün sonucu hiçbir zaman eksili bir sayı çıkamaz!)
3. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Kökten kurtulmak için eşitliğin her iki tarafının karesini (2. kuvvetini) alalım.
- Sol tarafın karesi kökü yok eder: 3x - 2
- Sağ tarafın karesi: 42 = 16
- Oluşan denklem: 3x - 2 = 16
- 3x = 18
- x = 6
Kontrol (Zihinden): x=6 yazarsak içerisi 18-2=16 olur. √16 = 4'tür. Sorun yok! ✅
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Dikkat! Kökün sonucu negatif çıkmış ama kök derecesi 3 (Tek Sayı). Tek dereceli köklerin sonucu negatif olabilir, sıkıntı yok!
Kökten kurtulmak için her iki tarafın küpünü (3. kuvvetini) alacağız.
- Sol taraf: 2x + 5 (Kök kalktı)
- Sağ taraf: (-3)3 = -27
- Denklem: 2x + 5 = -27
- 2x = -32
- x = -16
Cevap: {-16}
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {-2, 3} B) {-2} C) {3} D) {4}
Çözümü Göster
Her iki tarafın karesini alalım:
- Sol taraf: x + 6
- Sağ taraf: x2
- Denklem: x2 - x - 6 = 0 (İkinci dereceden denklem)
- Çarpanlarına ayıralım: Çarpımları -6, toplamları -1 olan sayılar (-3 ve +2).
(x - 3) . (x + 2) = 0 - Aday Kökler: x = 3 ve x = -2
🚨 SAĞLAMA ZAMANI (En Baştaki Denkleme Koyuyoruz):
x = 3 için: √9 = 3 ➡ 3 = 3 (DOĞRU ✅)
x = -2 için: √4 = -2 ➡ 2 = -2 (YANLIŞ ❌ Karekökün sonucu negatif çıkamaz!)
-2 sayısı bir "Yalancı Kök"tür. Onu eliyoruz.
Cevap: C şıkkı {3}
olduğuna göre x kaçtır?
Çözümü Göster
İki farklı yolla çözülebilir. Ya her iki tarafın küpünü alırsın ya da köklü sayıyı üslü sayıya çevirirsin. Biz "Üslüye Çevirme" yöntemini kullanalım (Çünkü tabanlar aynı ailedendir).
Kural: Kökün derecesi, içerideki sayının üssüne bölü (payda) olarak geçer.
- Sol taraf: 2x - 13
- Sağ taraf: 4 = 22
Tabanlar aynı oldu (2). O zaman üsler de eşittir:
- İçler dışlar çarpımı yapalım: x - 1 = 6
- x = 7
Bir trafik kazasını inceleyen polis, aracın fren izinden yola çıkarak hızını tahmin eden şu formülü kullanmaktadır:
V: Aracın hızı (km/sa)
d: Fren izinin uzunluğu (metre)
Olay yerindeki fren izini ölçen polis, aracın kaza anındaki hızını 40 km/sa olarak hesapladığına göre, bu aracın bıraktığı fren izi (d) kaç metredir?
Çözümü Göster
Soruda verilen V (hız) değerini formülde yerine yazarak "d"yi bulacağız.
- 40 = 5√d
Önce köklü ifadeyi yalnız bırakmak için her iki tarafı 5'e bölelim:
- 8 = √d
Kökten kurtulmak için her iki tarafın karesini alalım:
- 82 = (√d)2
- 64 = d
Cevap: Fren izi 64 metredir.