MODÜL 25: BÖLÜM 4 - KOMBİNASYON (SEÇME)
"Sıranın, rütbenin önemi yok! Sadece torbaya kimlerin girdiğiyle ilgileniyoruz."
1. Permütasyon ile Kombinasyon Arasındaki Fark Nedir?
Adayların en çok kafasını karıştıran yer burasıdır. Soruyu okuduğunuzda kendinize şu soruyu sorun: "Seçtiğim adamların kendi aralarında yer değiştirmesi bir anlam ifade ediyor mu?"
- Permütasyon (Sıralama): 10 kişi arasından 1 Başkan ve 1 Başkan Yardımcısı seçmek. (Ali başkan, Veli yardımcı olursa farklıdır; Veli başkan, Ali yardımcı olursa farklıdır. Sıra önemlidir!)
- Kombinasyon (Seçme): 10 kişi arasından 2 kişilik temizlik komitesi seçmek. (Ali ve Veli'yi seçmen yeterlidir. İsimlerini hangi sırayla söylediğinin hiçbir önemi yoktur. Çuvala ikisi de girmiştir.)
2. Kombinasyon Formülü ve Pratik Yol
Matematikte $n$ elemanlı bir kümeden $r$ elemanlı alt kümeler (gruplar) oluşturmanın resmi formülü şudur:
Permütasyon yapar gibi geriye doğru açıp çarp, sonra seçtiğin kişi sayısının faktöriyeline (çizginin altına) BÖL!
Örnek: C(7, 3) kaçtır?
- Üst Taraf (Permütasyon gibi): 7'den başla 3 adım git ➡ 7 x 6 x 5
- Alt Taraf (Kombinasyon farkı): 3'ün faktöriyeli ➡ 3 x 2 x 1
- İşlem: (7 x 6 x 5) / (3 x 2 x 1) = 210 / 6 = 35
Eğer alttaki sayıların toplamı üstteki sayıyı veriyorsa, bu kombinasyonların sonuçları birbirine eşittir.
C(10, 8) hesaplamak ameleliktir! Onun yerine 10'u 8'e tamamlayan 2'yi kullanın. C(10, 8) = C(10, 2).
Hemen pratik yoldan: (10 x 9) / (2 x 1) = 45.
3. Geometri ve Kombinasyon
Geometrik şekiller oluşturmak aslında bir kombinasyon oyunudur.
- Doğru (Çizgi) çizmek için: 2 noktaya ihtiyacın vardır. N noktadan C(N, 2) tane doğru geçer.
- Üçgen çizmek için: Doğrusal olmayan 3 noktaya ihtiyacın vardır. N noktadan C(N, 3) tane üçgen çizilir.
4. Soru Çözümleri (ÖSYM Tarzı)
8 doktor ve 5 hemşire arasından; 3 doktor ve 2 hemşireden oluşan 5 kişilik bir sağlık ekibi kaç farklı şekilde kurulabilir?
Çözümü Göster
Doktorları doktorların arasından, hemşireleri hemşirelerin arasından seçeceğiz. İşimizi bitirene kadar da çarpacağız (VE mantığı).
1. Adım: 8 doktordan 3'ünü seç ➡ C(8, 3)
(8 x 7 x 6) / (3 x 2 x 1) = 56
2. Adım: 5 hemşireden 2'sini seç ➡ C(5, 2)
(5 x 4) / (2 x 1) = 10
3. Adım: Ekibi birleştir (Çarp).
56 x 10 = 560 farklı ekip kurulabilir.
A, B, C, D, E, F kişileri arasından 4 kişilik bir komite seçilecektir.
Bu komitede A'nın bulunup, B'nin bulunmadığı kaç farklı seçim yapılabilir?
Çözümü Göster
Torbaya (Komiteye) 4 kişi girecek: [ _ , _ , _ , _ ]
1. Adım (Şartları Uygula):
A mutlaka bulunacak. Hemen A'yı torbaya koy! Torbada 1 yer doldu, kaldı 3 boş koltuk.
B kesinlikle bulunmayacak. B'nin üstünü çiz, çöpe at!
2. Adım (Kalanlarla Kombinasyon):
Toplam 6 kişiydik. A torbaya girdi, B çöpe gitti. Geriye seçilebilecek 4 kişi (C, D, E, F) kaldı.
Torbada da dolmayı bekleyen 3 boş koltuk var.
Yani yapmamız gereken 4 kişi arasından 3 kişi seçmek: C(4, 3)
Sihirli kuraldan hatırlayalım: C(4, 3) aslında C(4, 1)'e eşittir. O da 4'tür.
4 kadın ve 5 erkek arasından 3 kişilik bir yönetim kurulu seçilecektir.
Kurulda en az 2 kadın bulunması gerektiğine göre kaç farklı seçim yapılabilir?
Çözümü Göster
Senaryo 1 (Tam 2 Kadın Olması):
3 kişilik kurulda 2 Kadın varsa, 1 tane de Erkek olmalıdır.
C(4, 2) x C(5, 1) ➡ [(4 x 3) / 2] x 5 ➡ 6 x 5 = 30
Senaryo 2 (Tam 3 Kadın Olması):
Kurulun 3'ü de kadın olsun. Erkeklere hiç yer kalmaz (0 erkek).
C(4, 3) x C(5, 0) ➡ 4 x 1 = 4
Sonuç (Topla):
30 + 4 = 34 farklı seçim yapılabilir.
Bir çember üzerinde 4 nokta, çemberin dışındaki düz bir doğru üzerinde ise 3 nokta vardır (Toplam 7 nokta).
Köşeleri bu noktalar üzerinde olan en fazla kaç farklı üçgen çizilebilir?
Çözümü Göster
Üçgen çizmek için 3 noktaya ihtiyacımız var. Ama bir şartla: Bu 3 nokta aynı düz çizgi üzerinde OLMAMALIDIR! (Düz çizgi üzerindeki 3 noktayı birleştirirseniz üçgen değil, sadece uzun bir çizgi elde edersiniz).
Taktik (Tüm Durum - İstenmeyen):
Hiçbir kural yokmuş gibi 7 noktadan 3'ünü seçelim, sonra üçgen oluşturmayanları (düz çizgidekileri) çıkartalım.
1. Tüm Durum: C(7, 3)
(7 x 6 x 5) / (3 x 2 x 1) = 35
2. İstenmeyen (Çizgideki Noktalar):
Düz doğru üzerinde 3 nokta var. Bu 3 noktayı seçtiğimiz durumlar üçgen yapmaz.
C(3, 3) = 1
3. Sonuç:
35 - 1 = 34 farklı üçgen çizilebilir.
MODÜL 25: BÖLÜM 4 - KOMBİNASYON (SEÇME)
"Sıranın, rütbenin önemi yok! Sadece torbaya kimlerin girdiğiyle ilgileniyoruz."
1. Permütasyon ile Kombinasyon Arasındaki Fark Nedir?
Adayların en çok kafasını karıştıran yer burasıdır. Soruyu okuduğunuzda kendinize şu soruyu sorun: "Seçtiğim adamların kendi aralarında yer değiştirmesi bir anlam ifade ediyor mu?"
- Permütasyon (Sıralama): 10 kişi arasından 1 Başkan ve 1 Başkan Yardımcısı seçmek. (Ali başkan, Veli yardımcı olursa farklıdır; Veli başkan, Ali yardımcı olursa farklıdır. Sıra önemlidir!)
- Kombinasyon (Seçme): 10 kişi arasından 2 kişilik temizlik komitesi seçmek. (Ali ve Veli'yi seçmen yeterlidir. İsimlerini hangi sırayla söylediğinin hiçbir önemi yoktur. Çuvala ikisi de girmiştir.)
2. Kombinasyon Formülü ve Pratik Yol
Matematikte $n$ elemanlı bir kümeden $r$ elemanlı alt kümeler (gruplar) oluşturmanın resmi formülü şudur:
Permütasyon yapar gibi geriye doğru açıp çarp, sonra seçtiğin kişi sayısının faktöriyeline (çizginin altına) BÖL!
Örnek: C(7, 3) kaçtır?
- Üst Taraf (Permütasyon gibi): 7'den başla 3 adım git ➡ 7 x 6 x 5
- Alt Taraf (Kombinasyon farkı): 3'ün faktöriyeli ➡ 3 x 2 x 1
- İşlem: (7 x 6 x 5) / (3 x 2 x 1) = 210 / 6 = 35
Eğer alttaki sayıların toplamı üstteki sayıyı veriyorsa, bu kombinasyonların sonuçları birbirine eşittir.
C(10, 8) hesaplamak ameleliktir! Onun yerine 10'u 8'e tamamlayan 2'yi kullanın. C(10, 8) = C(10, 2).
Hemen pratik yoldan: (10 x 9) / (2 x 1) = 45.
3. Geometri ve Kombinasyon
Geometrik şekiller oluşturmak aslında bir kombinasyon oyunudur.
- Doğru (Çizgi) çizmek için: 2 noktaya ihtiyacın vardır. N noktadan C(N, 2) tane doğru geçer.
- Üçgen çizmek için: Doğrusal olmayan 3 noktaya ihtiyacın vardır. N noktadan C(N, 3) tane üçgen çizilir.
4. Soru Çözümleri (ÖSYM Tarzı)
8 doktor ve 5 hemşire arasından; 3 doktor ve 2 hemşireden oluşan 5 kişilik bir sağlık ekibi kaç farklı şekilde kurulabilir?
Çözümü Göster
Doktorları doktorların arasından, hemşireleri hemşirelerin arasından seçeceğiz. İşimizi bitirene kadar da çarpacağız (VE mantığı).
1. Adım: 8 doktordan 3'ünü seç ➡ C(8, 3)
(8 x 7 x 6) / (3 x 2 x 1) = 56
2. Adım: 5 hemşireden 2'sini seç ➡ C(5, 2)
(5 x 4) / (2 x 1) = 10
3. Adım: Ekibi birleştir (Çarp).
56 x 10 = 560 farklı ekip kurulabilir.
A, B, C, D, E, F kişileri arasından 4 kişilik bir komite seçilecektir.
Bu komitede A'nın bulunup, B'nin bulunmadığı kaç farklı seçim yapılabilir?
Çözümü Göster
Torbaya (Komiteye) 4 kişi girecek: [ _ , _ , _ , _ ]
1. Adım (Şartları Uygula):
A mutlaka bulunacak. Hemen A'yı torbaya koy! Torbada 1 yer doldu, kaldı 3 boş koltuk.
B kesinlikle bulunmayacak. B'nin üstünü çiz, çöpe at!
2. Adım (Kalanlarla Kombinasyon):
Toplam 6 kişiydik. A torbaya girdi, B çöpe gitti. Geriye seçilebilecek 4 kişi (C, D, E, F) kaldı.
Torbada da dolmayı bekleyen 3 boş koltuk var.
Yani yapmamız gereken 4 kişi arasından 3 kişi seçmek: C(4, 3)
Sihirli kuraldan hatırlayalım: C(4, 3) aslında C(4, 1)'e eşittir. O da 4'tür.
4 kadın ve 5 erkek arasından 3 kişilik bir yönetim kurulu seçilecektir.
Kurulda en az 2 kadın bulunması gerektiğine göre kaç farklı seçim yapılabilir?
Çözümü Göster
Senaryo 1 (Tam 2 Kadın Olması):
3 kişilik kurulda 2 Kadın varsa, 1 tane de Erkek olmalıdır.
C(4, 2) x C(5, 1) ➡ [(4 x 3) / 2] x 5 ➡ 6 x 5 = 30
Senaryo 2 (Tam 3 Kadın Olması):
Kurulun 3'ü de kadın olsun. Erkeklere hiç yer kalmaz (0 erkek).
C(4, 3) x C(5, 0) ➡ 4 x 1 = 4
Sonuç (Topla):
30 + 4 = 34 farklı seçim yapılabilir.
Bir çember üzerinde 4 nokta, çemberin dışındaki düz bir doğru üzerinde ise 3 nokta vardır (Toplam 7 nokta).
Köşeleri bu noktalar üzerinde olan en fazla kaç farklı üçgen çizilebilir?
Çözümü Göster
Üçgen çizmek için 3 noktaya ihtiyacımız var. Ama bir şartla: Bu 3 nokta aynı düz çizgi üzerinde OLMAMALIDIR! (Düz çizgi üzerindeki 3 noktayı birleştirirseniz üçgen değil, sadece uzun bir çizgi elde edersiniz).
Taktik (Tüm Durum - İstenmeyen):
Hiçbir kural yokmuş gibi 7 noktadan 3'ünü seçelim, sonra üçgen oluşturmayanları (düz çizgidekileri) çıkartalım.
1. Tüm Durum: C(7, 3)
(7 x 6 x 5) / (3 x 2 x 1) = 35
2. İstenmeyen (Çizgideki Noktalar):
Düz doğru üzerinde 3 nokta var. Bu 3 noktayı seçtiğimiz durumlar üçgen yapmaz.
C(3, 3) = 1
3. Sonuç:
35 - 1 = 34 farklı üçgen çizilebilir.