MODÜL 25: BÖLÜM 7 - KOŞULLU OLASILIK
"Zar atıldı, yere düştü ve biri sana fısıldadı: 'Çift geldiğini gördüm!' Artık dünya 6 ihtimalli değil, 3 ihtimallidir!"
1. Daralan Evren Mantığı (Sözel Kafa Yöntemi)
Normal olasılıkta bir zarı attığımızda 6 ihtimal vardır. Ama soru bize "Zarın üst yüzüne çift sayı GELDİĞİ BİLİNDİĞİNE GÖRE..." derse, artık 1, 3 ve 5 sayıları çöpe gitmiştir! Bizim yeni dünyamız (alt katımız) sadece 2, 4 ve 6'dan oluşur.
Bu kelimeyi gördüğün an, eski tüm durumların üstünü çiz. Sadece bilinen şartı "Alt Kata" (Paydaya) yaz!
2. Tablo Soruları (ÖSYM'nin Favorisi)
Koşullu olasılığın en çok sorulduğu yer "Gözlüklü/Gözlüksüz ve Kız/Erkek" gibi iki farklı özelliğin verildiği sınıf tablolarıdır.
Örneğin; "Seçilen öğrencinin Gözlüklü olduğu bilindiğine göre, Erkek olma olasılığı kaçtır?" diye sorulursa; tablodaki kızlara veya gözlüksüzlere hiç bakmayız. Sadece "Gözlüklü" sütununu/satırını işaretleriz, alt kata o sayıyı yazarız.
Alt kata bilinen şartı (örneğin gözlüklüleri) yazdık. Peki üst kata (istenen duruma) ne yazacağız? Tüm erkekleri mi?
HAYIR! Artık yeni evrenimiz sadece gözlüklüler olduğu için, üst kata "Hem Gözlüklü Hem Erkek" olanların sayısını (kesişimlerini) yazmalısın. Kural şudur: Üst kat, daima alt katın içinden seçilir!
3. Soru Çözümleri (Adım Adım Daralan Evren)
Havaya bir zar atılıyor. Üst yüze gelen sayının asal sayı olduğu bilindiğine göre, bu sayının çift sayı olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
1. Adım (Daralan Evren / Alt Kat): Zardaki asal sayılar {2, 3, 5}'tir. Yani dünyamız artık 6 ihtimalli değil, sadece 3 ihtimallidir.
Alt Kata (Payda) ➡ 3 yazıyoruz.
2. Adım (İstenen Durum / Üst Kat): Bu 3 sayının {2, 3, 5} içinden hangileri çift sayıdır? Sadece 2! Yani istenen duruma uyan sadece 1 tane sayı var.
Üst Kata (Pay) ➡ 1 yazıyoruz.
Sonuç: Olasılık = 1 / 3'tür.
Aşağıdaki tabloda bir sınıftaki öğrencilerin dağılımı verilmiştir.
| Kız | Erkek | Toplam | |
|---|---|---|---|
| Gözlüklü | 4 | 6 | 10 |
| Gözlüksüz | 8 | 12 | 20 |
| Toplam | 12 | 18 | 30 |
Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin Erkek olduğu bilindiğine göre, gözlüklü olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
1. Alt Kat (Bilinen Şart): Seçilen kişinin Erkek olduğunu biliyoruz. O zaman Kızlara ve Sınıfın Toplamına (30) hiç bakmıyoruz. Bizim dünyamız sadece Erkeklerdir!
Toplam Erkek Sayısı = 6 (Gözlüklü) + 12 (Gözlüksüz) = 18.
Alt Kata ➡ 18 yazıyoruz.
2. Üst Kat (İstenen Durum): Bu 18 erkeğin içinden kaçı gözlüklü? Tabloya bakıyoruz, 6 tanesi.
Üst Kata ➡ 6 yazıyoruz.
Sonuç: Olasılık = 6 / 18. Sadeleştirirsek cevap 1 / 3 olur.
Havaya 2 madeni para atılıyor. Paralardan en az birinin Tura geldiği bilindiğine göre, ikisinin de Tura gelmiş olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
1. Alt Kat (Bilinen Şart): En az birinin Tura geldiğini biliyoruz. Demek ki ikisinin de Yazı (Y-Y) geldiği o tek durumu çöpe atıyoruz!
Geriye kalan yeni evrenimiz: (T-T), (T-Y), (Y-T). Toplam 3 durum.
Alt Kata ➡ 3 yazıyoruz.
2. Üst Kat (İstenen Durum): Bu 3 durumun (T-T, T-Y, Y-T) içinden, ikisinin de Tura olduğu kaç durum var? Sadece 1 tane (T-T).
Üst Kata ➡ 1 yazıyoruz.
Sonuç: Olasılık = 1 / 3 çıkar. (Normal olasılık olsaydı cevap 1/4 çıkacaktı, gördüğün gibi evren daraldı!)
Bir torbada 3 Sarı, 4 Lacivert top vardır. Torbadan rastgele çekilen 2 topun da aynı renkte olduğu bilindiğine göre, bu topların ikisinin de Lacivert olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Burada "Daralan Evrenimizi" önce kombinasyonla hesaplamalıyız.
1. Alt Kat (Bilinen Şart): Çekilen 2 top aynı renkteymiş. Yani ya "İkisi de Sarı" ya da "İkisi de Lacivert" çekilmiş.
İkisi de Sarı: C(3, 2) = 3 durum.
İkisi de Lacivert: C(4, 2) = 6 durum.
Toplam Bilinen Durumlar: 3 + 6 = 9 durum. (Alt Kata 9 yazıyoruz).
2. Üst Kat (İstenen Durum): Bizden bu ihtimallerin içinden "İkisinin de Lacivert" olmasını istiyor. Yukarıda hesapladık, ikisinin Lacivert olduğu durum sayısı 6'dır.
Üst Kata ➡ 6 yazıyoruz.
Sonuç: 6 / 9. Her iki tarafı 3'e bölersek cevap 2 / 3 olur.
MODÜL 25: BÖLÜM 7 - KOŞULLU OLASILIK
"Zar atıldı, yere düştü ve biri sana fısıldadı: 'Çift geldiğini gördüm!' Artık dünya 6 ihtimalli değil, 3 ihtimallidir!"
1. Daralan Evren Mantığı (Sözel Kafa Yöntemi)
Normal olasılıkta bir zarı attığımızda 6 ihtimal vardır. Ama soru bize "Zarın üst yüzüne çift sayı GELDİĞİ BİLİNDİĞİNE GÖRE..." derse, artık 1, 3 ve 5 sayıları çöpe gitmiştir! Bizim yeni dünyamız (alt katımız) sadece 2, 4 ve 6'dan oluşur.
Bu kelimeyi gördüğün an, eski tüm durumların üstünü çiz. Sadece bilinen şartı "Alt Kata" (Paydaya) yaz!
2. Tablo Soruları (ÖSYM'nin Favorisi)
Koşullu olasılığın en çok sorulduğu yer "Gözlüklü/Gözlüksüz ve Kız/Erkek" gibi iki farklı özelliğin verildiği sınıf tablolarıdır.
Örneğin; "Seçilen öğrencinin Gözlüklü olduğu bilindiğine göre, Erkek olma olasılığı kaçtır?" diye sorulursa; tablodaki kızlara veya gözlüksüzlere hiç bakmayız. Sadece "Gözlüklü" sütununu/satırını işaretleriz, alt kata o sayıyı yazarız.
Alt kata bilinen şartı (örneğin gözlüklüleri) yazdık. Peki üst kata (istenen duruma) ne yazacağız? Tüm erkekleri mi?
HAYIR! Artık yeni evrenimiz sadece gözlüklüler olduğu için, üst kata "Hem Gözlüklü Hem Erkek" olanların sayısını (kesişimlerini) yazmalısın. Kural şudur: Üst kat, daima alt katın içinden seçilir!
3. Soru Çözümleri (Adım Adım Daralan Evren)
Havaya bir zar atılıyor. Üst yüze gelen sayının asal sayı olduğu bilindiğine göre, bu sayının çift sayı olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
1. Adım (Daralan Evren / Alt Kat): Zardaki asal sayılar {2, 3, 5}'tir. Yani dünyamız artık 6 ihtimalli değil, sadece 3 ihtimallidir.
Alt Kata (Payda) ➡ 3 yazıyoruz.
2. Adım (İstenen Durum / Üst Kat): Bu 3 sayının {2, 3, 5} içinden hangileri çift sayıdır? Sadece 2! Yani istenen duruma uyan sadece 1 tane sayı var.
Üst Kata (Pay) ➡ 1 yazıyoruz.
Sonuç: Olasılık = 1 / 3'tür.
Aşağıdaki tabloda bir sınıftaki öğrencilerin dağılımı verilmiştir.
| Kız | Erkek | Toplam | |
|---|---|---|---|
| Gözlüklü | 4 | 6 | 10 |
| Gözlüksüz | 8 | 12 | 20 |
| Toplam | 12 | 18 | 30 |
Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin Erkek olduğu bilindiğine göre, gözlüklü olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
1. Alt Kat (Bilinen Şart): Seçilen kişinin Erkek olduğunu biliyoruz. O zaman Kızlara ve Sınıfın Toplamına (30) hiç bakmıyoruz. Bizim dünyamız sadece Erkeklerdir!
Toplam Erkek Sayısı = 6 (Gözlüklü) + 12 (Gözlüksüz) = 18.
Alt Kata ➡ 18 yazıyoruz.
2. Üst Kat (İstenen Durum): Bu 18 erkeğin içinden kaçı gözlüklü? Tabloya bakıyoruz, 6 tanesi.
Üst Kata ➡ 6 yazıyoruz.
Sonuç: Olasılık = 6 / 18. Sadeleştirirsek cevap 1 / 3 olur.
Havaya 2 madeni para atılıyor. Paralardan en az birinin Tura geldiği bilindiğine göre, ikisinin de Tura gelmiş olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
1. Alt Kat (Bilinen Şart): En az birinin Tura geldiğini biliyoruz. Demek ki ikisinin de Yazı (Y-Y) geldiği o tek durumu çöpe atıyoruz!
Geriye kalan yeni evrenimiz: (T-T), (T-Y), (Y-T). Toplam 3 durum.
Alt Kata ➡ 3 yazıyoruz.
2. Üst Kat (İstenen Durum): Bu 3 durumun (T-T, T-Y, Y-T) içinden, ikisinin de Tura olduğu kaç durum var? Sadece 1 tane (T-T).
Üst Kata ➡ 1 yazıyoruz.
Sonuç: Olasılık = 1 / 3 çıkar. (Normal olasılık olsaydı cevap 1/4 çıkacaktı, gördüğün gibi evren daraldı!)
Bir torbada 3 Sarı, 4 Lacivert top vardır. Torbadan rastgele çekilen 2 topun da aynı renkte olduğu bilindiğine göre, bu topların ikisinin de Lacivert olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Burada "Daralan Evrenimizi" önce kombinasyonla hesaplamalıyız.
1. Alt Kat (Bilinen Şart): Çekilen 2 top aynı renkteymiş. Yani ya "İkisi de Sarı" ya da "İkisi de Lacivert" çekilmiş.
İkisi de Sarı: C(3, 2) = 3 durum.
İkisi de Lacivert: C(4, 2) = 6 durum.
Toplam Bilinen Durumlar: 3 + 6 = 9 durum. (Alt Kata 9 yazıyoruz).
2. Üst Kat (İstenen Durum): Bizden bu ihtimallerin içinden "İkisinin de Lacivert" olmasını istiyor. Yukarıda hesapladık, ikisinin Lacivert olduğu durum sayısı 6'dır.
Üst Kata ➡ 6 yazıyoruz.
Sonuç: 6 / 9. Her iki tarafı 3'e bölersek cevap 2 / 3 olur.