İçereği Atla
KPSS Matematik | Modül 22: Bölüm 2 - İşlemler

MODÜL 22: BÖLÜM 2 - KÜMELERDE İŞLEMLER

"Birleştirelim, Kesiştirelim, Ayıklayalım!"

1. Birleşim ve Kesişim (Toplama ve Ortaklık)

[Image of set theory union and intersection venn diagram]

∪ Birleşim (Herkes Gelsin!)

İki kümedeki TÜM elemanların bir araya gelmesidir.

Örn: A={1,2}, B={2,3} ➡ A ∪ B = {1, 2, 3}

(Not: Ortak olan "2" sadece bir kez yazılır).

∩ Kesişim (Ortak Nokta)

Sadece her iki kümede de bulunan ORTAK elemanlardır.

Örn: A={1,2}, B={2,3} ➡ A ∩ B = {2}

(Kesişim boşsa, bunlara "Ayrık Kümeler" denir).

⭐ EN ÖNEMLİ FORMÜL

İki kümenin birleşiminin eleman sayısını bulurken, kesişimi (ortayı) iki kere saymamak için bir kez çıkarmalıyız.

s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B)

2. Fark İşlemi (Kıskançlık)

Bir kümede olup diğerinde OLMAYAN elemanlardır. "Benim olsun, senin olmasın" mantığıdır.

[Image of set difference venn diagram]
A - B B
Şekil: A Fark B (A - B veya A \ B). Sadece mor alan.
  • A - B: A'da olup B'de olmayanlar. (Sadece A)
  • B - A: B'de olup A'da olmayanlar. (Sadece B)

3. Evrensel Küme ve Tümleme

E (Evrensel Küme): Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan dev kutudur.

A' (A'nın Tümleyeni): Evrensel kümenin içinde olup, A kümesinin DIŞINDA kalanlardır.

[Image of set complement venn diagram]
💡 İPUCU: BÜTÜNÜ TAMAMLAMA

Bir kümenin kendisi (A) ile dışındakilerin (A') toplamı, Evrensel Kümeyi (E) verir.

s(A) + s(A') = s(E)

4. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)

KOLAY SORU 1: Formül Uygulaması

A ve B kümeleri için:

  • s(A) = 12
  • s(B) = 8
  • s(A ∩ B) = 3

Olduğuna göre, s(A ∪ B) kaçtır?

Çözümü Göster

En önemli formülümüzü kullanalım:

s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B)

Değerleri yerine koyalım:

s(A ∪ B) = 12 + 8 - 3

s(A ∪ B) = 20 - 3 = 17

ORTA SORU 2: Venn Şeması Çizimi

A kümesi {1, 2, 3, 4, 5} ve B kümesi {4, 5, 6, 7} ise, A - B kümesi nedir?

Çözümü Göster

Mantık: A kümesinin içinden, B ile ortak olanları (ajanları) atacağız.

  • A kümesi: {1, 2, 3, 4, 5}
  • B kümesi: {4, 5, 6, 7}
  • Ortak olanlar: 4 ve 5.

A'dan 4 ve 5'i çıkarırsak geriye ne kalır?

A - B = {1, 2, 3}

(Dikkat: B'deki 6 ve 7 bizi ilgilendirmez, çünkü biz A'nın içindekilere bakıyoruz).

ZOR (KATLAR VE ORANLAR) SORU 3: Kesişim ve Birleşim İlişkisi

s(A) = 3 . s(A ∩ B)
s(B) = 4 . s(A ∩ B)
s(A ∪ B) = 30

Olduğuna göre, A kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Çözümü Göster

Her şey kesişime bağlı verilmiş. Kesişime "x" diyerek Venn şeması kuralım.

  • s(A ∩ B) = x (Tam orta göbek)
  • s(A) = 3x (A'nın tamamı 3x ise, göbek hariç Yalnız A = 2x kalır).
  • s(B) = 4x (B'nin tamamı 4x ise, göbek hariç Yalnız B = 3x kalır).

Birleşim (A ∪ B) demek, gördüğün tüm parçaların toplamıdır:

(Yalnız A) + (Kesişim) + (Yalnız B) = 30

2x + x + 3x = 30

6x = 30 ➡ x = 5

Soru s(A)'yı istiyor. s(A) = 3x demiştik.

s(A) = 3 . 5 = 15

YENİ NESİL (TÜMLEME) SORU 4: Evrensel Küme Dengesi

A ve B aynı evrensel kümenin alt kümeleridir.

s(A) + s(B') = 14
s(A') + s(B) = 10

Olduğuna göre, Evrensel Kümenin eleman sayısı s(E) kaçtır?

Çözümü Göster
Kural: Bir küme ile tümleyeninin toplamı Evrensel Kümeyi verir: s(A) + s(A') = s(E)

Verilen iki denklemi taraf tarafa toplayalım:

s(A) + s(B') = 14
+ s(A') + s(B) = 10
-------------------
[s(A) + s(A')] + [s(B) + s(B')] = 24

Köşeli parantezlerin her biri Evrensel Kümeye (E) eşittir.

s(E) + s(E) = 24

2 . s(E) = 24 ➡ s(E) = 12