MODÜL 9: BÖLÜM 3 - MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER
"İki ihtimalin var: Ya öylesindir, ya da tam tersi!"
1. Altın Kural: Çatallanan Yol
Bir mutlak değer, pozitif bir sayıya eşitse ($|x| = a$), içindeki ifade ya o sayıya eşittir ya da o sayının eksilisine eşittir.
Eşittir işaretinin karşısındaki sayı NEGATİF ise (Örn: $|x| = -5$), işlem yapma! Kalemi bırak.
Çünkü uzaklık negatif olamaz. Çözüm Kümesi: Ø (Boş Küme)
Eğer eşitliğin karşısında sadece sayı değil de x'li bir ifade varsa (Örn: $|x-3| = 2x+1$), bulduğun kökleri mutlaka yerine koyup SAĞLAMASINI YAPMALISIN!
Sağ tarafı negatif yapan kökler atılır.
2. Örnek Soru Çözümleri
|2x - 7| = 13 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
İki kola ayıralım:
1. Durum (Aynısı):
2x - 7 = 13
2x = 20 ➡ x = 10
2. Durum (Eksilisi):
2x - 7 = -13
2x = -6 ➡ x = -3
Toplam: 10 + (-3) = 7
|3x - 12| = |x + 4| denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Her iki taraf da mutlak değerliyse, bir tarafı sabit tut, diğerini iki ihtimalli aç.
1. Durum (Birebir Eşit):
3x - 12 = x + 4
2x = 16 ➡ x = 8
2. Durum (Biri Diğerinin Tersine Eşit):
3x - 12 = -(x + 4)
3x - 12 = -x - 4
4x = 8 ➡ x = 2
Çözüm Kümesi: {2, 8}
|x - 2| = 2x - 10 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Dikkat! Dışarıda x var. Bulduğumuz kökleri denemek zorundayız.
1. Durum:
x - 2 = 2x - 10
8 = x ➡ x = 8
Kontrol: |8-2| = 2(8)-10 ➡ |6| = 6 (Doğru ✅)
2. Durum:
x - 2 = -(2x - 10)
x - 2 = -2x + 10
3x = 12 ➡ x = 4
Kontrol: |4-2| = 2(4)-10 ➡ |2| = -2 (YANLIŞ ❌ Mutlak değer -2 olamaz!)
Cevap: Sadece {8}
| |x - 3| - 5 | = 2 denklemini sağlayan kaç farklı x değeri vardır?
Çözümü Göster
En dıştaki duvardan başlayıp içeri doğru kazacağız.
Adım 1 (Dış Kabuk):
|x - 3| - 5 = 2 VEYA |x - 3| - 5 = -2
Adım 2 (Düzenleme):
|x - 3| = 7 VEYA |x - 3| = 3
Adım 3 (İç Kabuk - 1. Denklem):
|x - 3| = 7 ➡ x-3=7 (x=10) ve x-3=-7 (x=-4). (2 Kök Buradan)
Adım 4 (İç Kabuk - 2. Denklem):
|x - 3| = 3 ➡ x-3=3 (x=6) ve x-3=-3 (x=0). (2 Kök Buradan)
Toplam: 4 farklı değer vardır.
|2x + 5| + 12 = 4 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Mutlak değeri yalnız bırakalım.
|2x + 5| = 4 - 12
|2x + 5| = -8
Mutlak değerin sonucu negatif olamaz!
Cevap: Boş Küme (Ø)
Sayı doğrusu üzerinde bir x sayısının 3'e olan uzaklığı, x sayısının -1'e olan uzaklığının 2 katıdır. Buna göre x'in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Cümleyi matematiğe çevirelim:
"x'in 3'e uzaklığı" ➡ |x - 3|
"x'in -1'e uzaklığı" ➡ |x - (-1)| = |x + 1|
Denklem: |x - 3| = 2 . |x + 1|
1. Durum: x - 3 = 2(x + 1)
x - 3 = 2x + 2 ➡ x = -5
2. Durum: x - 3 = -2(x + 1)
x - 3 = -2x - 2
3x = 1 ➡ x = 1/3
Toplam: -5 + 1/3 = -14/3
MODÜL 9: BÖLÜM 3 - MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER
"İki ihtimalin var: Ya öylesindir, ya da tam tersi!"
1. Altın Kural: Çatallanan Yol
Bir mutlak değer, pozitif bir sayıya eşitse ($|x| = a$), içindeki ifade ya o sayıya eşittir ya da o sayının eksilisine eşittir.
Eşittir işaretinin karşısındaki sayı NEGATİF ise (Örn: $|x| = -5$), işlem yapma! Kalemi bırak.
Çünkü uzaklık negatif olamaz. Çözüm Kümesi: Ø (Boş Küme)
Eğer eşitliğin karşısında sadece sayı değil de x'li bir ifade varsa (Örn: $|x-3| = 2x+1$), bulduğun kökleri mutlaka yerine koyup SAĞLAMASINI YAPMALISIN!
Sağ tarafı negatif yapan kökler atılır.
2. Örnek Soru Çözümleri
|2x - 7| = 13 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
İki kola ayıralım:
1. Durum (Aynısı):
2x - 7 = 13
2x = 20 ➡ x = 10
2. Durum (Eksilisi):
2x - 7 = -13
2x = -6 ➡ x = -3
Toplam: 10 + (-3) = 7
|3x - 12| = |x + 4| denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Her iki taraf da mutlak değerliyse, bir tarafı sabit tut, diğerini iki ihtimalli aç.
1. Durum (Birebir Eşit):
3x - 12 = x + 4
2x = 16 ➡ x = 8
2. Durum (Biri Diğerinin Tersine Eşit):
3x - 12 = -(x + 4)
3x - 12 = -x - 4
4x = 8 ➡ x = 2
Çözüm Kümesi: {2, 8}
|x - 2| = 2x - 10 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Dikkat! Dışarıda x var. Bulduğumuz kökleri denemek zorundayız.
1. Durum:
x - 2 = 2x - 10
8 = x ➡ x = 8
Kontrol: |8-2| = 2(8)-10 ➡ |6| = 6 (Doğru ✅)
2. Durum:
x - 2 = -(2x - 10)
x - 2 = -2x + 10
3x = 12 ➡ x = 4
Kontrol: |4-2| = 2(4)-10 ➡ |2| = -2 (YANLIŞ ❌ Mutlak değer -2 olamaz!)
Cevap: Sadece {8}
| |x - 3| - 5 | = 2 denklemini sağlayan kaç farklı x değeri vardır?
Çözümü Göster
En dıştaki duvardan başlayıp içeri doğru kazacağız.
Adım 1 (Dış Kabuk):
|x - 3| - 5 = 2 VEYA |x - 3| - 5 = -2
Adım 2 (Düzenleme):
|x - 3| = 7 VEYA |x - 3| = 3
Adım 3 (İç Kabuk - 1. Denklem):
|x - 3| = 7 ➡ x-3=7 (x=10) ve x-3=-7 (x=-4). (2 Kök Buradan)
Adım 4 (İç Kabuk - 2. Denklem):
|x - 3| = 3 ➡ x-3=3 (x=6) ve x-3=-3 (x=0). (2 Kök Buradan)
Toplam: 4 farklı değer vardır.
|2x + 5| + 12 = 4 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Mutlak değeri yalnız bırakalım.
|2x + 5| = 4 - 12
|2x + 5| = -8
Mutlak değerin sonucu negatif olamaz!
Cevap: Boş Küme (Ø)
Sayı doğrusu üzerinde bir x sayısının 3'e olan uzaklığı, x sayısının -1'e olan uzaklığının 2 katıdır. Buna göre x'in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Cümleyi matematiğe çevirelim:
"x'in 3'e uzaklığı" ➡ |x - 3|
"x'in -1'e uzaklığı" ➡ |x - (-1)| = |x + 1|
Denklem: |x - 3| = 2 . |x + 1|
1. Durum: x - 3 = 2(x + 1)
x - 3 = 2x + 2 ➡ x = -5
2. Durum: x - 3 = -2(x + 1)
x - 3 = -2x - 2
3x = 1 ➡ x = 1/3
Toplam: -5 + 1/3 = -14/3