İçereği Atla
KPSS Matematik | Modül 9: Bölüm 4 - Mutlak Değerli Eşitsizlikler

MODÜL 9: BÖLÜM 4 - MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER

"Ya Ortadasın Ya da Uçlardasın!"

1. İki Temel Durum

🥪

1. Sandviç Kuralı (Küçüktür)

Eğer |x| < a ise;

Sayı, a ile -a arasına hapsolur.

-a < x < a
🦅

2. Kanatlar Kuralı (Büyüktür)

Eğer |x| > a ise;

Sayı merkezden kaçar. İki ayrı parça olur.

x > a   VEYA   x < -a
⚠️ NEGATİF SAYI TUZAĞI:

Mutlak değer uzaklık demektir.

  • |x| < -3 ➡ İMKANSIZ! Uzaklık negatiften küçük olamaz. (Ç.K = Ø)
  • |x| > -3 ➡ DAİMA! Uzaklık zaten hep pozitiftir, negatiften büyüktür. (Ç.K = Tüm Reel Sayılar)

2. Örnek Soru Çözümleri

TEMEL SORU 1:

|2x - 5| < 7 eşitsizliğini sağlayan x tam sayı değerleri kaç tanedir?

Çözümü Göster

Küçüktür olduğu için ifadeyi -7 ile +7 arasına sıkıştırıyoruz.

-7 < 2x - 5 < 7

1. Adım: Her yere +5 ekle.
-2 < 2x < 12

2. Adım: Her yeri 2'ye böl.
-1 < x < 6

3. Adım: Tam sayıları say.
0, 1, 2, 3, 4, 5
Toplam 6 tane.

AYRIK SORU 2:

|3x + 6| ≥ 12 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

Çözümü Göster

Büyüktür olduğu için iki ayrı kola ayırıyoruz.

1. Yol (Aynen):
3x + 6 ≥ 12
3x ≥ 6 ➡ x ≥ 2

2. Yol (Eksiyle Yön Değişir):
3x + 6 ≤ -12 (Dikkat: İşaret döndü, sayı eksi oldu)
3x ≤ -18 ➡ x ≤ -6

Çözüm: (-∞, -6] ∪ [2, ∞)

ÇİFT TARAFLI SORU 3:

4 < |x - 2| ≤ 7 eşitsizliğini sağlayan x tam sayıları kaç tanedir?

Çözümü Göster

Bu durumda ifade ya pozitif tarafta bu aralıktadır ya da negatif tarafta bu aralıktadır (ayna görüntüsü).

1. Durum (Pozitif Aralık):
4 < x - 2 ≤ 7
(Her yere +2 ekle) ➡ 6 < x ≤ 9
Değerler: 7, 8, 9 (3 tane)

2. Durum (Negatif Aralık - Yer ve İşaret Değişir):
-7 ≤ x - 2 < -4
(Her yere +2 ekle) ➡ -5 ≤ x < -2
Değerler: -5, -4, -3 (3 tane)

Toplam: 3 + 3 = 6 tane

DİKKAT SORU 4:

| (x - 2) / 3 | ≤ 2 eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı nedir?

Çözümü Göster

Bölüm halindeki 3 pozitiftir, karşıya çarpı olarak atabiliriz.

|x - 2| ≤ 6

Şimdi Sandviç Kuralı:
-6 ≤ x - 2 ≤ 6

Her yere +2 ekle:
-4 ≤ x ≤ 8

Aralık: [-4, 8]

TUZAK SORU 5:

|2x - 10| + 5 < 2 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

Çözümü Göster

Mutlak değeri yalnız bırakalım.

|2x - 10| < 2 - 5

|2x - 10| < -3

Mutlak değer (uzaklık) negatif bir sayıdan küçük olamaz!

Cevap: Boş Küme (Ø)

FABRİKA SORU 6:

Bir fabrikada üretilen metal çubukların ideal uzunluğu 150 cm'dir. Ancak makine hatası nedeniyle uzunluklar en fazla 0,4 cm sapma gösterebilmektedir.
Buna göre, kabul edilebilir çubuk uzunluklarını (x) gösteren mutlak değerli eşitsizlik nedir?

Çözümü Göster

Mantık: Gerçek uzunluk (x) ile İdeal uzunluk (150) arasındaki fark (mesafe), 0,4'ten küçük veya eşit olmalıdır.

Fark (Mesafe) ➡ Mutlak Değer |x - 150|

Sınır ➡ ≤ 0,4

Eşitsizlik: |x - 150| ≤ 0,4

(Açılımı: 149,6 ≤ x ≤ 150,4)