MODÜL 12: BÖLÜM 3 - TAM KARE ÖZDEŞLİKLERİ
"Birincinin karesi, ikisinin çarpımının iki katı, ikincinin karesi!"
1. Tam Kare Formülleri (Altın Şarkı)
Bir parantezin tümünün karesini alırken yapılan işleme Tam Kare Açılımı denir. Ortadaki işaret neyse, o işaret "2ab" kısmının önüne gelir.
Toplamın Karesi
Ortadaki işaret artıdır (+).
Farkın Karesi
Ortadaki işaret eksidir (-).
Dikkat: Sadece 2ab'nin önü eksi olur, b² her zaman pozitiftir (çünkü eksinin karesi de artıdır).
Parantezin dışındaki kare içeriye sadece dağıtılamaz! Ortadaki "çarpımlarının 2 katı" (2ab) terimini unutursan soru tamamen gider.
(Bu, matematikteki en büyük ve en yaygın günahlardan biridir. Yapmayalım!)
2. Değer Bulma Taktiği (KPSS'nin Gözdesi)
Soruda sana iki sayının toplamı (veya farkı) ile bu sayıların çarpımı verilmişse, hiç düşünmeden HER İKİ TARAFIN KARESİNİ AL!
Bazen toplamını verip farkını sorar, bazen farkını verip toplamını sorar. Bu iki formülü birbirine bağlayan köprü şudur:
3. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
ifadesinin açılımı aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
Şarkımızı söyleyelim: "Birincinin karesi eksi çarpımlarının iki katı artı ikincinin karesi"
- Birinci terim: 2x ➡ Karesi: (2x)2 = 4x2
- Çarpımlarının 2 katı: 2 . (2x) . (3) = 12x (Aradaki işaret eksi olduğu için -12x)
- İkinci terim: 3 ➡ Karesi: 32 = 9 (Daima pozitiftir)
Hepsini yan yana yazalım:
Cevap: 4x2 - 12x + 9
a . b = 10
olduğuna göre, a² + b² toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Toplam ve çarpım verilmiş, karelerin toplamı isteniyor. Hemen (a + b) = 7 eşitliğinin her iki tarafının karesini alalım!
- (a + b)2 = 72
- Açılımı yapalım: a2 + 2ab + b2 = 49
Soruda bize a . b = 10 olarak verilmiş. Açılımda "ab" gördüğümüz yere 10 yazalım.
- a2 + 2(10) + b2 = 49
- a2 + 20 + b2 = 49
20'yi karşıya atıp (çıkarıp) yalnız bırakalım:
a2 + b2 = 49 - 20 = 29
x . y = 5
olduğuna göre, x² + y² toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Fark verilmiş, karelerin toplamı isteniyor. Yine aynı taktik: (x - y) = 4 eşitliğinin karesini al!
- (x - y)2 = 42
- Açılımı yapalım: x2 - 2xy + y2 = 16
Soruda bize x . y = 5 olarak verilmiş. Açılımda "xy" yerine 5 yazalım.
- x2 - 2(5) + y2 = 16
- x2 - 10 + y2 = 16
-10'u karşıya atalım (+10 olarak geçer):
x2 + y2 = 16 + 10 = 26
olduğuna göre, x2 +
Çözümü Göster
Bu soru tipinin en büyük hilesi şudur: Birinci sayı "x", ikinci sayı "1/x". Bunları çarpınca x'ler birbirini götürür ve geriye sadece sayı kalır!
Her iki tarafın karesini alalım:
- Birincinin karesi: x2
- Çarpımlarının 2 katı: 2 . x . 1x➡ (x'ler sadeleşir, sadece +2 kalır!)
- İkincinin karesi: 1x2
Denklemi toparlayalım:
x2 + 2 +
x2 + 2 +
Ortadaki +2'yi karşıya -2 olarak atalım:
Cevap: 25 - 2 = 23
a . b = 4
olduğuna göre, (a - b)² ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Toplamını vermiş, farkının karesini istiyor. Geçiş köprüsü formülümüzü hatırlayalım:
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
- (a + b) yerine 6 yazalım: 62 = 36
- (a . b) yerine 4 yazalım: 4 . 4 = 16
Yerine koyarsak:
(a - b)2 = 36 - 16
Cevap: 20
Bir kenar uzunluğu "x" birim olan kare şeklindeki bir kartondan, her bir kenarından "y" birim uzunluğunda şeritler kesilip atılıyor.
Kalan bölgenin alanını veren cebirsel ifadenin açılımı nedir?
Çözümü Göster
Karton kare şeklinde ve başlangıçta bir kenarı x.
Kartonun hem eninden hem de boyundan "y" kadar kesilip atılıyorsa, yeni oluşan karenin bir kenarı (x - y) olur.
Kalan bölgenin alanı, bu yeni karenin alanıdır. Yani bir kenarının karesidir:
Alan = (x - y)2
Soru bizden bu cebirsel ifadenin açılımını istemiş. (Farkın Karesi kuralı):
- Birincinin karesi: x²
- Çarpımlarının 2 katı (eksi ile): -2xy
- İkincinin karesi: +y²
Cevap: x2 - 2xy + y2
MODÜL 12: BÖLÜM 3 - TAM KARE ÖZDEŞLİKLERİ
"Birincinin karesi, ikisinin çarpımının iki katı, ikincinin karesi!"
1. Tam Kare Formülleri (Altın Şarkı)
Bir parantezin tümünün karesini alırken yapılan işleme Tam Kare Açılımı denir. Ortadaki işaret neyse, o işaret "2ab" kısmının önüne gelir.
Toplamın Karesi
Ortadaki işaret artıdır (+).
Farkın Karesi
Ortadaki işaret eksidir (-).
Dikkat: Sadece 2ab'nin önü eksi olur, b² her zaman pozitiftir (çünkü eksinin karesi de artıdır).
Parantezin dışındaki kare içeriye sadece dağıtılamaz! Ortadaki "çarpımlarının 2 katı" (2ab) terimini unutursan soru tamamen gider.
(Bu, matematikteki en büyük ve en yaygın günahlardan biridir. Yapmayalım!)
2. Değer Bulma Taktiği (KPSS'nin Gözdesi)
Soruda sana iki sayının toplamı (veya farkı) ile bu sayıların çarpımı verilmişse, hiç düşünmeden HER İKİ TARAFIN KARESİNİ AL!
Bazen toplamını verip farkını sorar, bazen farkını verip toplamını sorar. Bu iki formülü birbirine bağlayan köprü şudur:
3. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
ifadesinin açılımı aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
Şarkımızı söyleyelim: "Birincinin karesi eksi çarpımlarının iki katı artı ikincinin karesi"
- Birinci terim: 2x ➡ Karesi: (2x)2 = 4x2
- Çarpımlarının 2 katı: 2 . (2x) . (3) = 12x (Aradaki işaret eksi olduğu için -12x)
- İkinci terim: 3 ➡ Karesi: 32 = 9 (Daima pozitiftir)
Hepsini yan yana yazalım:
Cevap: 4x2 - 12x + 9
a . b = 10
olduğuna göre, a² + b² toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Toplam ve çarpım verilmiş, karelerin toplamı isteniyor. Hemen (a + b) = 7 eşitliğinin her iki tarafının karesini alalım!
- (a + b)2 = 72
- Açılımı yapalım: a2 + 2ab + b2 = 49
Soruda bize a . b = 10 olarak verilmiş. Açılımda "ab" gördüğümüz yere 10 yazalım.
- a2 + 2(10) + b2 = 49
- a2 + 20 + b2 = 49
20'yi karşıya atıp (çıkarıp) yalnız bırakalım:
a2 + b2 = 49 - 20 = 29
x . y = 5
olduğuna göre, x² + y² toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Fark verilmiş, karelerin toplamı isteniyor. Yine aynı taktik: (x - y) = 4 eşitliğinin karesini al!
- (x - y)2 = 42
- Açılımı yapalım: x2 - 2xy + y2 = 16
Soruda bize x . y = 5 olarak verilmiş. Açılımda "xy" yerine 5 yazalım.
- x2 - 2(5) + y2 = 16
- x2 - 10 + y2 = 16
-10'u karşıya atalım (+10 olarak geçer):
x2 + y2 = 16 + 10 = 26
olduğuna göre, x2 +
Çözümü Göster
Bu soru tipinin en büyük hilesi şudur: Birinci sayı "x", ikinci sayı "1/x". Bunları çarpınca x'ler birbirini götürür ve geriye sadece sayı kalır!
Her iki tarafın karesini alalım:
- Birincinin karesi: x2
- Çarpımlarının 2 katı: 2 . x . 1x➡ (x'ler sadeleşir, sadece +2 kalır!)
- İkincinin karesi: 1x2
Denklemi toparlayalım:
x2 + 2 +
x2 + 2 +
Ortadaki +2'yi karşıya -2 olarak atalım:
Cevap: 25 - 2 = 23
a . b = 4
olduğuna göre, (a - b)² ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Toplamını vermiş, farkının karesini istiyor. Geçiş köprüsü formülümüzü hatırlayalım:
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
- (a + b) yerine 6 yazalım: 62 = 36
- (a . b) yerine 4 yazalım: 4 . 4 = 16
Yerine koyarsak:
(a - b)2 = 36 - 16
Cevap: 20
Bir kenar uzunluğu "x" birim olan kare şeklindeki bir kartondan, her bir kenarından "y" birim uzunluğunda şeritler kesilip atılıyor.
Kalan bölgenin alanını veren cebirsel ifadenin açılımı nedir?
Çözümü Göster
Karton kare şeklinde ve başlangıçta bir kenarı x.
Kartonun hem eninden hem de boyundan "y" kadar kesilip atılıyorsa, yeni oluşan karenin bir kenarı (x - y) olur.
Kalan bölgenin alanı, bu yeni karenin alanıdır. Yani bir kenarının karesidir:
Alan = (x - y)2
Soru bizden bu cebirsel ifadenin açılımını istemiş. (Farkın Karesi kuralı):
- Birincinin karesi: x²
- Çarpımlarının 2 katı (eksi ile): -2xy
- İkincinin karesi: +y²
Cevap: x2 - 2xy + y2