MODÜL 4: BÖLÜM 3 - TAM SAYI VE ASAL OLMAYAN BÖLENLER
"Madalyonun Diğer Yüzü: Negatifler"
1. Tam Sayı Bölenleri (TBS)
Bir sayıyı tam bölen pozitif sayılar olduğu gibi, bunların negatifleri de vardır. Örneğin 6'yı 2 böler, -2 de böler. Simetriyi görmek önemlidir.
ÖRNEK: 6 Sayısının Bölenleri
Pozitifler (PBS): {1, 2, 3, 6} → 4 tane
Negatifler (NBS): {-1, -2, -3, -6} → 4 tane
TOPLAM (TBS): 4 + 4 = 8 tane
(Pozitiflerin 2 katıdır. Hem artılar hem eksiler.)
(Pozitif sayısı neyse, negatif sayısı da odur.)
2. Asal Olan ve Olmayan Bölenler
Sorularda en çok kullanılan kelime oyunları buradadır. Aşağıdaki tabloyu mantığını kavrayarak inceleyelim.
Sayının asal çarpanlarına ayrılmış halindeki tabanlarıdır.
Örnek: 2³ . 5² için ABS = 2 tanedir (2 ve 5)
(Tüm pozitiflerden, asal olanları çıkar)
(Tüm bölenlerden, sadece pozitif asalları çıkar)
Bu iki kuralı adın gibi bilmelisin:
- Tüm Tam Sayı Bölenlerinin Toplamı: Daima 0'dır.
(Çünkü her +5'in bir -5'i vardır, toplayınca birbirini yok eder.) - Asal Olmayan Tam Sayı Bölenlerinin Toplamı: -(Asalların Toplamı)'dır.
Mantık: Normalde toplam 0'dır. Biz teraziden "Asalları" (örneğin 2, 3, 5) çekip alırsak, denge bozulur ve geriye onların negatifleri (-2, -3, -5) sahipsiz kalır.
3. Örnek Sorular
120 sayısının;
a) Tam sayı bölen sayısı (TBS) kaçtır?
b) Asal olmayan pozitif bölen sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Adım 1: Asal Çarpanlara Ayır
120 = 12 . 10 = (2².3) . (2.5) = 2³ . 3¹ . 5¹
Adım 2: PBS Bul
PBS = (3+1).(1+1).(1+1) = 4 . 2 . 2 = 16
a) TBS kaçtır?
TBS = 2 . PBS = 2 . 16 = 32
b) Asal Olmayan Pozitif?
Asal Bölenler (ABS) = 2, 3, 5 (yani 3 tane).
Sonuç = PBS - ABS = 16 - 3 = 13
240 sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Yol 1 (Uzun Mantık):
Tüm bölenleri toplarsam 0 eder. Asal bölenler bu toplamın içindedir. Soruda "asal olmayanlar" dendiği için asalları kümeden atıyorum. Geriye, asalları nötrleyen negatif sayıların karşılığı kalmıyor.
Yol 2 (Pratik Kural):
Cevap = -(Asal Bölenlerin Toplamı)'dır.
İşlem:
240 = 24 . 10 = (2³.3) . (2.5) = 2⁴ . 3¹ . 5¹
Asal çarpanlar (tabanlar): 2, 3 ve 5.
Toplamları: 2 + 3 + 5 = 10.
Kural gereği cevap: -10
A = 45 . 2x sayısının asal olmayan tam sayı bölen sayısı 45 ise, x kaçtır?
Çözümü Göster
Adım 1: Denklem Kur
Asal Olmayan TBS = TBS - ABS = 45
Yani: TBS = 45 + ABS
Adım 2: Sayıyı Düzenle ve ABS'yi Bul
A = 9 . 5 . 2x = 3² . 5¹ . 2x
Tabanlara bak: 3, 5, 2. (Yani ABS = 3 tane).
O halde TBS = 45 + 3 = 48.
Adım 3: PBS'den x'i bul
TBS = 48 ise, yarısı olan PBS = 24'tür.
PBS Formülü: (2+1) . (1+1) . (x+1) = 24
3 . 2 . (x+1) = 24
6 . (x+1) = 24
x+1 = 4 → x = 3
180 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi çift sayıdır?
Çözümü Göster
Yöntem: Çift olması için içinde en az bir tane "2" çarpanı olmalı. Bunu garantilemek için sayının içinden bir tane 2'yi kenara ayırırız (sabitleriz), kalanın PBS'sini buluruz.
İşlem:
180 = 2² . 3² . 5¹
Bir tane 2'yi dışarı at (Paranteze al):
2 . (2¹ . 3² . 5¹)
Parantez içinin PBS'si:
(1+1).(2+1).(1+1) = 2 . 3 . 2 = 12
Mantık: Parantez içinden ne gelirse gelsin, dışarıdaki 2 ile çarpılınca sonuç kesinlikle çift olacaktır.
MODÜL 4: BÖLÜM 3 - TAM SAYI VE ASAL OLMAYAN BÖLENLER
"Madalyonun Diğer Yüzü: Negatifler"
1. Tam Sayı Bölenleri (TBS)
Bir sayıyı tam bölen pozitif sayılar olduğu gibi, bunların negatifleri de vardır. Örneğin 6'yı 2 böler, -2 de böler. Simetriyi görmek önemlidir.
ÖRNEK: 6 Sayısının Bölenleri
Pozitifler (PBS): {1, 2, 3, 6} → 4 tane
Negatifler (NBS): {-1, -2, -3, -6} → 4 tane
TOPLAM (TBS): 4 + 4 = 8 tane
(Pozitiflerin 2 katıdır. Hem artılar hem eksiler.)
(Pozitif sayısı neyse, negatif sayısı da odur.)
2. Asal Olan ve Olmayan Bölenler
Sorularda en çok kullanılan kelime oyunları buradadır. Aşağıdaki tabloyu mantığını kavrayarak inceleyelim.
Sayının asal çarpanlarına ayrılmış halindeki tabanlarıdır.
Örnek: 2³ . 5² için ABS = 2 tanedir (2 ve 5)
(Tüm pozitiflerden, asal olanları çıkar)
(Tüm bölenlerden, sadece pozitif asalları çıkar)
Bu iki kuralı adın gibi bilmelisin:
- Tüm Tam Sayı Bölenlerinin Toplamı: Daima 0'dır.
(Çünkü her +5'in bir -5'i vardır, toplayınca birbirini yok eder.) - Asal Olmayan Tam Sayı Bölenlerinin Toplamı: -(Asalların Toplamı)'dır.
Mantık: Normalde toplam 0'dır. Biz teraziden "Asalları" (örneğin 2, 3, 5) çekip alırsak, denge bozulur ve geriye onların negatifleri (-2, -3, -5) sahipsiz kalır.
3. Örnek Sorular
120 sayısının;
a) Tam sayı bölen sayısı (TBS) kaçtır?
b) Asal olmayan pozitif bölen sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Adım 1: Asal Çarpanlara Ayır
120 = 12 . 10 = (2².3) . (2.5) = 2³ . 3¹ . 5¹
Adım 2: PBS Bul
PBS = (3+1).(1+1).(1+1) = 4 . 2 . 2 = 16
a) TBS kaçtır?
TBS = 2 . PBS = 2 . 16 = 32
b) Asal Olmayan Pozitif?
Asal Bölenler (ABS) = 2, 3, 5 (yani 3 tane).
Sonuç = PBS - ABS = 16 - 3 = 13
240 sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Yol 1 (Uzun Mantık):
Tüm bölenleri toplarsam 0 eder. Asal bölenler bu toplamın içindedir. Soruda "asal olmayanlar" dendiği için asalları kümeden atıyorum. Geriye, asalları nötrleyen negatif sayıların karşılığı kalmıyor.
Yol 2 (Pratik Kural):
Cevap = -(Asal Bölenlerin Toplamı)'dır.
İşlem:
240 = 24 . 10 = (2³.3) . (2.5) = 2⁴ . 3¹ . 5¹
Asal çarpanlar (tabanlar): 2, 3 ve 5.
Toplamları: 2 + 3 + 5 = 10.
Kural gereği cevap: -10
A = 45 . 2x sayısının asal olmayan tam sayı bölen sayısı 45 ise, x kaçtır?
Çözümü Göster
Adım 1: Denklem Kur
Asal Olmayan TBS = TBS - ABS = 45
Yani: TBS = 45 + ABS
Adım 2: Sayıyı Düzenle ve ABS'yi Bul
A = 9 . 5 . 2x = 3² . 5¹ . 2x
Tabanlara bak: 3, 5, 2. (Yani ABS = 3 tane).
O halde TBS = 45 + 3 = 48.
Adım 3: PBS'den x'i bul
TBS = 48 ise, yarısı olan PBS = 24'tür.
PBS Formülü: (2+1) . (1+1) . (x+1) = 24
3 . 2 . (x+1) = 24
6 . (x+1) = 24
x+1 = 4 → x = 3
180 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi çift sayıdır?
Çözümü Göster
Yöntem: Çift olması için içinde en az bir tane "2" çarpanı olmalı. Bunu garantilemek için sayının içinden bir tane 2'yi kenara ayırırız (sabitleriz), kalanın PBS'sini buluruz.
İşlem:
180 = 2² . 3² . 5¹
Bir tane 2'yi dışarı at (Paranteze al):
2 . (2¹ . 3² . 5¹)
Parantez içinin PBS'si:
(1+1).(2+1).(1+1) = 2 . 3 . 2 = 12
Mantık: Parantez içinden ne gelirse gelsin, dışarıdaki 2 ile çarpılınca sonuç kesinlikle çift olacaktır.