MODÜL 3: BÖLÜM 2 - TEMEL BÖLÜNEBİLME KURALLARI
"Sayıları Tanı, Bölmeden Yönet"
1. Son Rakamlara Bakan Kurallar (2, 4, 5, 8, 10)
Son rakam ÇİFT (0, 2, 4, 6, 8) ise tam bölünür.
Son iki basamak 00 veya 4'ün katı ise (04, 12, 20...) tam bölünür.
Son rakam 0 veya 5 ise tam bölünür.
Son rakam 0 ise tam bölünür.
(İpucu: Bir sayının 10 ile bölümünden kalan, birler basamağındaki rakamdır.)
2. Rakamları Toplayan Kurallar (3 ve 9)
Örn: 123 -> 1+2+3=6 (Tam bölünür).
Örn: 711 -> 7+1+1=9 (Tam bölünür).
3. 11 ile Bölünebilme (Sağdan Sola)
Sayının rakamları en sağdan (birler basamağından) başlayarak sola doğru +, -, +, - şeklinde işaretlenir.
+ - + - +
(Artıların Toplamı) - (Eksilerin Toplamı) işleminin sonucu 0 veya 11'in katı ise tam bölünür.
Büyük bir sayının (örneğin A) karesinin 9 ile bölümünden kalanı soruyorsa, A sayısını karesini almakla uğraşma!
1. Önce A'nın 9 ile bölümünden kalanını bul (k diyelim).
2. Sonra k sayısının karesini al. Sonuç 9'dan büyükse tekrar 9'a böl.
4. ÖSYM Tarzı Soru Çözümleri
SORU 1: Dört basamaklı 3a4b sayısı hem 10'a hem de 3'e tam bölünebilmektedir.
Buna göre, a rakamının alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Bir sayı 10'a tam bölünüyorsa birler basamağı kesinlikle 0'dır.
Yani b = 0.
Sayımız: 3a40 oldu.
Rakamlar toplamı 3'ün katı olmalı.
3 + a + 4 + 0 = 3k
7 + a = 3k
7'ye ne eklersek 3'ün katı olur?
a = 2 (Toplam 9 olur)
a = 5 (Toplam 12 olur)
a = 8 (Toplam 15 olur)
a = {2, 5, 8}
Sonuç: 2 + 5 + 8 = 15
SORU 2: Rakamları farklı, üç basamaklı 7a4 sayısı 4 ile tam bölünebilmektedir.
Buna göre, a kaç farklı değer alabilir?
Çözümü Göster
Son iki basamak (a4) 4'ün katı olmalı.
a4 -> 04, 14(X), 24, 34(X), 44, 54(X), 64, 74(X), 84, 94(X).
Olası değerler: 04, 24, 44, 64, 84.
a = {0, 2, 4, 6, 8} olabilir.
Sayı: 7a4.
Mevcut rakamlar: 7 ve 4.
a, bu rakamlarla aynı olamaz.
- a=4 olamaz (4 kullanılmış).
- a=0, 2, 6, 8 olabilir.
Sonuç: a, 4 farklı değer alabilir.
SORU 3: Dört basamaklı 4a7b sayısı 5 ile tam bölünebilen tek bir sayıdır.
Bu sayı 9 ile de tam bölünebildiğine göre, a kaçtır?
Çözümü Göster
5 ile bölünen sayıların sonu 0 veya 5 olur.
Soru "Tek sayı" dediği için sonu 0 olamaz.
Demek ki b = 5.
Sayımız: 4a75
Rakamlar toplamı 9'un katı olmalı.
4 + a + 7 + 5 = 9k
16 + a = 9k
16'ya ne eklersek 9'un katı (18) olur?
a = 2.
Sonuç: a = 2
SORU 4: Beş basamaklı 2a34b sayısı 10 ile bölündüğünde 2 kalanını vermektedir. Bu sayı 11 ile tam bölünebildiğine göre, a kaçtır?
Çözümü Göster
10 ile bölümden kalan, birler basamağıdır. Kalan 2 ise;
b = 2 dir.
Sayımız: 2a342
Sağdan sola işaretle:
2 (+)
4 (-)
3 (+)
a (-)
2 (+)
Artılar: 2 + 3 + 2 = 7
Eksiler: 4 + a
(Artılar) - (Eksiler) = 11'in katı
7 - (4 + a) = 11k
3 - a = 11k
3 - a sonucunun 0 olması gerekir (0, 11'in katıdır).
a = 3.
Sonuç: a = 3
SORU 5: A sayısının 9 ile bölümünden kalan 4'tür.
Buna göre, A² + 3A + 5 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster
A sayısını bulmaya çalışma. A gördüğün yere direkt Kalanı (4) yaz!
A = 4 alalım.
4² + 3(4) + 5
16 + 12 + 5 = 33
Çıkan sonuç (33), 9'dan büyük olduğu için tekrar 9'a böleriz.
33 / 9 -> Kalan kaçtır?
33'ün rakamlarını topla: 3+3 = 6.
Sonuç: Kalan 6'dır.
SORU 6: 4 haneli bir kasa şifresi 5a2b biçimindedir.
- Şifre 4 ile tam bölünebilmektedir.
- Şifrenin 9 ile bölümünden kalan 1'dir.
Buna göre, a'nın alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
2b sayısı 4'e bölünmeli.
b = 0, 4, 8 olabilir. (20, 24, 28)
Durum 1 (b=0): 5+a+2+0 = 7+a. Kalan 1 olması için toplam 10 veya 19 olmalı.
7+a = 10 => a=3.
Durum 2 (b=4): 5+a+2+4 = 11+a. Kalan 1 olması için toplam 19 olmalı (10 olamaz çünkü a negatif olur).
11+a = 19 => a=8.
Durum 3 (b=8): 5+a+2+8 = 15+a. Kalan 1 olması için toplam 19 olmalı.
15+a = 19 => a=4.
a'nın değerleri: 3, 8, 4.
En büyük değer 8'dir.
Sonuç: 8
MODÜL 3: BÖLÜM 2 - TEMEL BÖLÜNEBİLME KURALLARI
"Sayıları Tanı, Bölmeden Yönet"
1. Son Rakamlara Bakan Kurallar (2, 4, 5, 8, 10)
Son rakam ÇİFT (0, 2, 4, 6, 8) ise tam bölünür.
Son iki basamak 00 veya 4'ün katı ise (04, 12, 20...) tam bölünür.
Son rakam 0 veya 5 ise tam bölünür.
Son rakam 0 ise tam bölünür.
(İpucu: Bir sayının 10 ile bölümünden kalan, birler basamağındaki rakamdır.)
2. Rakamları Toplayan Kurallar (3 ve 9)
Örn: 123 -> 1+2+3=6 (Tam bölünür).
Örn: 711 -> 7+1+1=9 (Tam bölünür).
3. 11 ile Bölünebilme (Sağdan Sola)
Sayının rakamları en sağdan (birler basamağından) başlayarak sola doğru +, -, +, - şeklinde işaretlenir.
+ - + - +
(Artıların Toplamı) - (Eksilerin Toplamı) işleminin sonucu 0 veya 11'in katı ise tam bölünür.
Büyük bir sayının (örneğin A) karesinin 9 ile bölümünden kalanı soruyorsa, A sayısını karesini almakla uğraşma!
1. Önce A'nın 9 ile bölümünden kalanını bul (k diyelim).
2. Sonra k sayısının karesini al. Sonuç 9'dan büyükse tekrar 9'a böl.
4. ÖSYM Tarzı Soru Çözümleri
SORU 1: Dört basamaklı 3a4b sayısı hem 10'a hem de 3'e tam bölünebilmektedir.
Buna göre, a rakamının alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Bir sayı 10'a tam bölünüyorsa birler basamağı kesinlikle 0'dır.
Yani b = 0.
Sayımız: 3a40 oldu.
Rakamlar toplamı 3'ün katı olmalı.
3 + a + 4 + 0 = 3k
7 + a = 3k
7'ye ne eklersek 3'ün katı olur?
a = 2 (Toplam 9 olur)
a = 5 (Toplam 12 olur)
a = 8 (Toplam 15 olur)
a = {2, 5, 8}
Sonuç: 2 + 5 + 8 = 15
SORU 2: Rakamları farklı, üç basamaklı 7a4 sayısı 4 ile tam bölünebilmektedir.
Buna göre, a kaç farklı değer alabilir?
Çözümü Göster
Son iki basamak (a4) 4'ün katı olmalı.
a4 -> 04, 14(X), 24, 34(X), 44, 54(X), 64, 74(X), 84, 94(X).
Olası değerler: 04, 24, 44, 64, 84.
a = {0, 2, 4, 6, 8} olabilir.
Sayı: 7a4.
Mevcut rakamlar: 7 ve 4.
a, bu rakamlarla aynı olamaz.
- a=4 olamaz (4 kullanılmış).
- a=0, 2, 6, 8 olabilir.
Sonuç: a, 4 farklı değer alabilir.
SORU 3: Dört basamaklı 4a7b sayısı 5 ile tam bölünebilen tek bir sayıdır.
Bu sayı 9 ile de tam bölünebildiğine göre, a kaçtır?
Çözümü Göster
5 ile bölünen sayıların sonu 0 veya 5 olur.
Soru "Tek sayı" dediği için sonu 0 olamaz.
Demek ki b = 5.
Sayımız: 4a75
Rakamlar toplamı 9'un katı olmalı.
4 + a + 7 + 5 = 9k
16 + a = 9k
16'ya ne eklersek 9'un katı (18) olur?
a = 2.
Sonuç: a = 2
SORU 4: Beş basamaklı 2a34b sayısı 10 ile bölündüğünde 2 kalanını vermektedir. Bu sayı 11 ile tam bölünebildiğine göre, a kaçtır?
Çözümü Göster
10 ile bölümden kalan, birler basamağıdır. Kalan 2 ise;
b = 2 dir.
Sayımız: 2a342
Sağdan sola işaretle:
2 (+)
4 (-)
3 (+)
a (-)
2 (+)
Artılar: 2 + 3 + 2 = 7
Eksiler: 4 + a
(Artılar) - (Eksiler) = 11'in katı
7 - (4 + a) = 11k
3 - a = 11k
3 - a sonucunun 0 olması gerekir (0, 11'in katıdır).
a = 3.
Sonuç: a = 3
SORU 5: A sayısının 9 ile bölümünden kalan 4'tür.
Buna göre, A² + 3A + 5 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster
A sayısını bulmaya çalışma. A gördüğün yere direkt Kalanı (4) yaz!
A = 4 alalım.
4² + 3(4) + 5
16 + 12 + 5 = 33
Çıkan sonuç (33), 9'dan büyük olduğu için tekrar 9'a böleriz.
33 / 9 -> Kalan kaçtır?
33'ün rakamlarını topla: 3+3 = 6.
Sonuç: Kalan 6'dır.
SORU 6: 4 haneli bir kasa şifresi 5a2b biçimindedir.
- Şifre 4 ile tam bölünebilmektedir.
- Şifrenin 9 ile bölümünden kalan 1'dir.
Buna göre, a'nın alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
2b sayısı 4'e bölünmeli.
b = 0, 4, 8 olabilir. (20, 24, 28)
Durum 1 (b=0): 5+a+2+0 = 7+a. Kalan 1 olması için toplam 10 veya 19 olmalı.
7+a = 10 => a=3.
Durum 2 (b=4): 5+a+2+4 = 11+a. Kalan 1 olması için toplam 19 olmalı (10 olamaz çünkü a negatif olur).
11+a = 19 => a=8.
Durum 3 (b=8): 5+a+2+8 = 15+a. Kalan 1 olması için toplam 19 olmalı.
15+a = 19 => a=4.
a'nın değerleri: 3, 8, 4.
En büyük değer 8'dir.
Sonuç: 8