MODÜL 23: BÖLÜM 3 - TERS VE BİLEŞKE FONKSİYON
"Makineyi Geriye Çalıştır, Fabrikaları Birleştir!"
1. Ters Fonksiyon (Ctrl+Z: Geri Al Tuşu)
Bir makine düşünün; elmayı püre yapıyor. Bu makinenin ters fonksiyonu, püreyi tekrar elmaya dönüştüren sihirli bir makinedir. Gösterimi f⁻¹(x) şeklindedir.
f(A) = B ⇔ f⁻¹(B) = A
Türkçesi: Fonksiyonun içindeki ile dışındakini yer değiştirirsen, fonksiyonun tepesine bir -1 (ters) işareti gelir. Zaten tersiyse, düze döner!
- f(3) = 10 ise ➡ f⁻¹(10) = 3'tür.
- f⁻¹(5) = 12 ise ➡ f(12) = 5'tir.
Bazen iç-dış yapmak yetmez, makinenin kuralının tam tersini bulmamız gerekir. Orijinal fonksiyonda yapılan işlemlerin tam tersini, sondan başa doğru uygularız.
f(x) = ax + b
⬇
f⁻¹(x) = (x - b) / a
(Toplama çıkarmaya, çarpma bölmeye döner)
f(x) = (ax + b) / (cx + d)
⬇
f⁻¹(x) = (-dx + b) / (cx - a)
(Çaprazdaki a ve d hem yer hem işaret değiştirir!)
Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için kesinlikle Bire Bir ve Örten olması gerekir. Sınavda sorunun başında "f, bire bir ve örten bir fonksiyondur" diyorsa, korkmayın; bu sadece "Bu fonksiyonun tersini gönül rahatlığıyla alabilirsin" demek için yazılmış hukuki bir metindir. :)
2. Bileşke Fonksiyon (Fabrikaları Birleştir)
İki veya daha fazla fonksiyonun ardışık olarak uygulanmasıdır. Birinci makineden çıkan ürün, beklemeden ikinci makineye atılır. Gösterimi (f ∘ g)(x) şeklindedir (f bileşke g diye okunur).
(f ∘ g)(x) = f(g(x))
Çözüm Yönü: Bileşke fonksiyon daima SAĞDAN SOLA doğru çözülür! Önce x sayısı g(x) makinesine girer. Çıkan sonuç f(x) makinesine girer.
- (f ∘ g)(2) demek: Önce git g(2)'yi bul. Çıkan sonucu al, f fonksiyonunda yerine yaz demektir.
- Kural: (f ∘ g) ≠ (g ∘ f) ➡ Sıra değişirse sonuç değişir!
3. Soru Çözümleri (KPSS Tarzı)
f(3x - 1) = 4x + 7 olduğuna göre, f⁻¹(15) kaçtır?
Çözümü Göster
Soruda ters fonksiyon f⁻¹ soruluyor. Bizim elimizde düz f var. Hemen Altın Kuralı (İç-Dış Yer Değiştirme) uygulayalım:
İçerideki (3x - 1) ile dışarıdaki (4x + 7)'yi yer değiştirirsek f, f⁻¹ olur:
f⁻¹(4x + 7) = 3x - 1
Bizden f⁻¹(15) isteniyor. Yani parantez içinin 15 olması lazım.
4x + 7 = 15 ➡ 4x = 8 ➡ x = 2
Şimdi x gördüğümüz yere 2 yazalım (Eşitliğin karşısında):
3(2) - 1 = 6 - 1 = 5
Cevap: 5
f(x) = (3x - 2) / (x + 4) olduğuna göre, f⁻¹(1) kaçtır?
Çözümü Göster
1. Yol (Formül ile): Kesirli ifadelerde çaprazdaki (yukarıdaki x'in katsayısı ile aşağıdaki sabit sayı) yer ve işaret değiştiriyordu.
Yukarıdaki +3 ile aşağıdaki +4 yer ve işaret değiştirecek:
f⁻¹(x) = (-4x - 2) / (x - 3)
Şimdi x yerine 1 yazalım:
f⁻¹(1) = (-4(1) - 2) / (1 - 3)
f⁻¹(1) = (-6) / (-2) = 3
2. Yol (Pratik - KPSS Taktik): Eğer f⁻¹(1) soruluyorsa, bu aslında "Sonucu 1 yapan x değeri kaçtır?" demektir! Hemen orijinal fonksiyonu 1'e eşitle:
(3x - 2) / (x + 4) = 1
(İçler dışlar çarpımı yapalım)
3x - 2 = x + 4
2x = 6 ➡ x = 3
Gördüğünüz gibi, formül ezberlemeden de saniyeler içinde çözdük! Cevap: 3
f(x) = x² + 1
g(x) = 2x - 3
olduğuna göre, (f ∘ g)(4) kaçtır?
Çözümü Göster
Kuralımız matruşkaydı: (f ∘ g)(4) = f(g(4))
Her zaman en içten (en sağdan) başlıyoruz.
1. Adım: Önce g(4)'ü bulalım. g makinesine 4 atıyoruz.
g(4) = 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5
2. Adım: Artık g(4) yerine 5 yazabiliriz. Soru şuna dönüştü: f(5) kaçtır?
f makinesine 5 atıyoruz:
f(5) = 5² + 1 = 25 + 1 = 26
Cevap: 26
f(x) = 3x - 2
(f ∘ g)(x) = 6x + 7
Buna göre, g(2) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen bileşkeyi matruşka şeklinde yazalım:
f(g(x)) = 6x + 7
Bunun anlamı şudur: f fonksiyonunda x gördüğün yere g(x) yazmışlar ve sonuç 6x + 7 çıkmış.
f(x) fonksiyonumuz neydi? Kuralı: İçine atılanı 3 ile çarp, 2 çıkar.
İçine g(x) atarsak:
3 · g(x) - 2 = 6x + 7 olur.
Artık elimizde bir denklem var, g(2)'yi bulmak için x yerine 2 yazalım:
3 · g(2) - 2 = 6(2) + 7
3 · g(2) - 2 = 12 + 7
3 · g(2) - 2 = 19
3 · g(2) = 21 ➡ g(2) = 7
Cevap: 7
MODÜL 23: BÖLÜM 3 - TERS VE BİLEŞKE FONKSİYON
"Makineyi Geriye Çalıştır, Fabrikaları Birleştir!"
1. Ters Fonksiyon (Ctrl+Z: Geri Al Tuşu)
Bir makine düşünün; elmayı püre yapıyor. Bu makinenin ters fonksiyonu, püreyi tekrar elmaya dönüştüren sihirli bir makinedir. Gösterimi f⁻¹(x) şeklindedir.
f(A) = B ⇔ f⁻¹(B) = A
Türkçesi: Fonksiyonun içindeki ile dışındakini yer değiştirirsen, fonksiyonun tepesine bir -1 (ters) işareti gelir. Zaten tersiyse, düze döner!
- f(3) = 10 ise ➡ f⁻¹(10) = 3'tür.
- f⁻¹(5) = 12 ise ➡ f(12) = 5'tir.
Bazen iç-dış yapmak yetmez, makinenin kuralının tam tersini bulmamız gerekir. Orijinal fonksiyonda yapılan işlemlerin tam tersini, sondan başa doğru uygularız.
f(x) = ax + b
⬇
f⁻¹(x) = (x - b) / a
(Toplama çıkarmaya, çarpma bölmeye döner)
f(x) = (ax + b) / (cx + d)
⬇
f⁻¹(x) = (-dx + b) / (cx - a)
(Çaprazdaki a ve d hem yer hem işaret değiştirir!)
Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için kesinlikle Bire Bir ve Örten olması gerekir. Sınavda sorunun başında "f, bire bir ve örten bir fonksiyondur" diyorsa, korkmayın; bu sadece "Bu fonksiyonun tersini gönül rahatlığıyla alabilirsin" demek için yazılmış hukuki bir metindir. :)
2. Bileşke Fonksiyon (Fabrikaları Birleştir)
İki veya daha fazla fonksiyonun ardışık olarak uygulanmasıdır. Birinci makineden çıkan ürün, beklemeden ikinci makineye atılır. Gösterimi (f ∘ g)(x) şeklindedir (f bileşke g diye okunur).
(f ∘ g)(x) = f(g(x))
Çözüm Yönü: Bileşke fonksiyon daima SAĞDAN SOLA doğru çözülür! Önce x sayısı g(x) makinesine girer. Çıkan sonuç f(x) makinesine girer.
- (f ∘ g)(2) demek: Önce git g(2)'yi bul. Çıkan sonucu al, f fonksiyonunda yerine yaz demektir.
- Kural: (f ∘ g) ≠ (g ∘ f) ➡ Sıra değişirse sonuç değişir!
3. Soru Çözümleri (KPSS Tarzı)
f(3x - 1) = 4x + 7 olduğuna göre, f⁻¹(15) kaçtır?
Çözümü Göster
Soruda ters fonksiyon f⁻¹ soruluyor. Bizim elimizde düz f var. Hemen Altın Kuralı (İç-Dış Yer Değiştirme) uygulayalım:
İçerideki (3x - 1) ile dışarıdaki (4x + 7)'yi yer değiştirirsek f, f⁻¹ olur:
f⁻¹(4x + 7) = 3x - 1
Bizden f⁻¹(15) isteniyor. Yani parantez içinin 15 olması lazım.
4x + 7 = 15 ➡ 4x = 8 ➡ x = 2
Şimdi x gördüğümüz yere 2 yazalım (Eşitliğin karşısında):
3(2) - 1 = 6 - 1 = 5
Cevap: 5
f(x) = (3x - 2) / (x + 4) olduğuna göre, f⁻¹(1) kaçtır?
Çözümü Göster
1. Yol (Formül ile): Kesirli ifadelerde çaprazdaki (yukarıdaki x'in katsayısı ile aşağıdaki sabit sayı) yer ve işaret değiştiriyordu.
Yukarıdaki +3 ile aşağıdaki +4 yer ve işaret değiştirecek:
f⁻¹(x) = (-4x - 2) / (x - 3)
Şimdi x yerine 1 yazalım:
f⁻¹(1) = (-4(1) - 2) / (1 - 3)
f⁻¹(1) = (-6) / (-2) = 3
2. Yol (Pratik - KPSS Taktik): Eğer f⁻¹(1) soruluyorsa, bu aslında "Sonucu 1 yapan x değeri kaçtır?" demektir! Hemen orijinal fonksiyonu 1'e eşitle:
(3x - 2) / (x + 4) = 1
(İçler dışlar çarpımı yapalım)
3x - 2 = x + 4
2x = 6 ➡ x = 3
Gördüğünüz gibi, formül ezberlemeden de saniyeler içinde çözdük! Cevap: 3
f(x) = x² + 1
g(x) = 2x - 3
olduğuna göre, (f ∘ g)(4) kaçtır?
Çözümü Göster
Kuralımız matruşkaydı: (f ∘ g)(4) = f(g(4))
Her zaman en içten (en sağdan) başlıyoruz.
1. Adım: Önce g(4)'ü bulalım. g makinesine 4 atıyoruz.
g(4) = 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5
2. Adım: Artık g(4) yerine 5 yazabiliriz. Soru şuna dönüştü: f(5) kaçtır?
f makinesine 5 atıyoruz:
f(5) = 5² + 1 = 25 + 1 = 26
Cevap: 26
f(x) = 3x - 2
(f ∘ g)(x) = 6x + 7
Buna göre, g(2) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen bileşkeyi matruşka şeklinde yazalım:
f(g(x)) = 6x + 7
Bunun anlamı şudur: f fonksiyonunda x gördüğün yere g(x) yazmışlar ve sonuç 6x + 7 çıkmış.
f(x) fonksiyonumuz neydi? Kuralı: İçine atılanı 3 ile çarp, 2 çıkar.
İçine g(x) atarsak:
3 · g(x) - 2 = 6x + 7 olur.
Artık elimizde bir denklem var, g(2)'yi bulmak için x yerine 2 yazalım:
3 · g(2) - 2 = 6(2) + 7
3 · g(2) - 2 = 12 + 7
3 · g(2) - 2 = 19
3 · g(2) = 21 ➡ g(2) = 7
Cevap: 7