MODÜL 12: BÖLÜM 5 - ÜÇ TERİMLİ İFADELER
"Çarpımları Sonu, Toplamları Ortayı Verecek!"
1. Senaryo: x²'nin Önü Boş İse (a = 1)
En sevdiğimiz ve en kolay durumdur. İfade x2 + bx + c formatındadır.
Sondaki sayıya (c) bak! Öyle iki sayı bul ki;
- ÇARPIMLARI sondaki sayıyı (c'yi) versin.
- TOPLAMLARI ortadaki sayıyı (b'yi) versin.
Bulduğun bu sayıları "x" ile yan yana yazıp paranteze al.
Örnek İnceleme
x2 + 5x + 6
Hangi iki sayının çarpımı 6, toplamı 5 yapar?
Cevap: +3 ve +2
Çarpanlarına Ayrılmış Hali: (x + 3)(x + 2)
2. Senaryo: x²'nin Önünde Sayı Varsa (a ≠ 1)
Burada işler biraz daha teknikleşir. ax2 + bx + c ifadesinde hem baştaki terimi ($ax^2$) hem de sondaki terimi ($c$) çarpanlarına ayırırız.
| 2x2 + 7x + 3 | ||
| 2x | ⤫ | +1 |
| x | +3 | |
Sağlama (kontrol) yaparken ortadaki sayıyı bulmak için ÇAPRAZ çarparız.
(2x . 3) + (x . 1) = 6x + x = 7x (Ortayı verdi, harika!)
Ama parantezleri yazarken (pakete koyarken) DÜZ (YAN YANA) olanları yazarız!
3. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
Kuralımız: "Çarpımları sonu, toplamları ortayı verecek."
- Sondaki sayı: +10
- Ortadaki sayı: +7
Çarpımları 10, toplamları 7 olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar +5 ve +2'dir. (5x2=10, 5+2=7)
Bulduğumuz sayıları paranteze yazarız:
Cevap: (x + 5)(x + 2)
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + 5 B) x - 3 C) x - 5 D) x + 15
Çözümü Göster
İşin içine eksiler girince dikkatli olmalıyız.
- Sondaki sayı: -15. Çarpımları negatif olduğuna göre bu iki sayı ZIT İŞARETLİ olmalı. (Biri artı, biri eksi).
- Ortadaki sayı: -2. Toplamları negatif çıktığına göre, bu iki sayıdan BÜYÜK OLANIN İŞARETİ EKSİ olmalı.
Hangi sayıların çarpımı 15 yapar? (1 ve 15) veya (3 ve 5).
3 ve 5'i alalım. Büyük olan eksi olacak: -5 ve +3.
Kontrol: (-5) x (+3) = -15. (-5) + (+3) = -2. Sağladı!
Çarpanlarına ayrılmış hali: (x - 5)(x + 3)
Seçeneklerde x - 5 var. Cevap: C
ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali nedir?
Çözümü Göster
x²'nin önünde 3 olduğu için "Çapraz Çarpım" tablosunu kuracağız.
- Baştaki 3x²'yi ayıralım: 3x ve x
- Sondaki +8'i ayıralım. Dikkat, ortadaki sayı eksi (-10x). Bu yüzden 8'in çarpanlarını eksi seçmeliyiz (-2 ve -4 gibi).
Deneme yapalım:
| 3x | ⤫ | -4 |
| x | -2 |
Çapraz kontrol: (3x . -2) + (x . -4) = -6x - 4x = -10x (Ortayı verdi!)
Yazarken DÜZ yazıyoruz (Yan yana):
Cevap: (3x - 4)(x - 2)
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisi değildir?
A) 2x B) x - 6 C) x - 4 D) x + 2
Çözümü Göster
İfadeye ilk baktığımızda karmaşık geliyor (x³ var). Altın Kural: Her zaman önce Ortak Çarpan Parantezi yapılıp yapılamadığına bak!
- Bütün terimlerde "2" ve "x" ortaktır. İfadeyi 2x parantezine alalım.
- 2x(x2 - 4x - 12)
Şimdi parantezin içine odaklanalım: (x² - 4x - 12). Bu bir "Üç Terimli"dir (a=1).
- Çarpımları -12, toplamları -4 olan sayılar arıyoruz.
- Bu sayılar: -6 ve +2'dir.
- İçerinin açılımı: (x - 6)(x + 2)
En dıştaki 2x'i de unutmadan tüm çarpanları yan yana yazalım:
2x . (x - 6) . (x + 2)
Çarpanlara baktığımızda: 2x var, (x - 6) var, (x + 2) var. Ancak (x - 4) diye bir çarpan yoktur.
Cevap: C
ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster
Kesrin hem payını (üst) hem de paydasını (alt) çarpanlarına ayırmalıyız.
- Pay (Üst Kısım): x2 - 7x + 12 (Üç Terimli)
Çarpımları +12, toplamları -7 olan sayılar: -4 ve -3.
Açılımı: (x - 4)(x - 3) - Payda (Alt Kısım): x2 - 9 (İki Kare Farkı - Bölüm 4'ten hatırla!)
9 sayısı 3'ün karesidir. Bir eksilisi bir artılısı:
Açılımı: (x - 3)(x + 3)
Kesri yeni halleriyle yazalım:
Pay ve paydadaki (x - 3) ifadeleri birbirini sadeleştirir (yok eder).
Cevap:
Bir dikdörtgenin alanı matematiksel olarak x² + 8x + 15 birimkare formülüyle verilmektedir.
Bu dikdörtgenin kenar uzunlukları 1'den büyük tam sayılar olduğuna göre, bu dikdörtgenin çevre uzunluğunun "x" cinsinden eşiti nedir?
Çözümü Göster
Dikdörtgenin Alanı = (Kısa Kenar) . (Uzun Kenar)
Yani bize verilen x² + 8x + 15 ifadesini iki çarpana (iki paranteze) ayırmamız gerekiyor ki kenar uzunluklarını bulalım.
- İfade: x2 + 8x + 15
- Çarpımları 15, toplamları 8 olan iki sayı arıyoruz.
- Bu sayılar +5 ve +3'tür.
Kenarları bulduk!
Bir kenar: (x + 5)
Diğer kenar: (x + 3)
Bizden "Çevre Uzunluğu" isteniyor.
Çevre = 2 . (Kısa Kenar + Uzun Kenar)
Çevre = 2 . [ (x + 5) + (x + 3) ]
Çevre = 2 . [ 2x + 8 ]
Dışarıdaki 2'yi parantezin içine dağıtırsak:
Cevap: 4x + 16
MODÜL 12: BÖLÜM 5 - ÜÇ TERİMLİ İFADELER
"Çarpımları Sonu, Toplamları Ortayı Verecek!"
1. Senaryo: x²'nin Önü Boş İse (a = 1)
En sevdiğimiz ve en kolay durumdur. İfade x2 + bx + c formatındadır.
Sondaki sayıya (c) bak! Öyle iki sayı bul ki;
- ÇARPIMLARI sondaki sayıyı (c'yi) versin.
- TOPLAMLARI ortadaki sayıyı (b'yi) versin.
Bulduğun bu sayıları "x" ile yan yana yazıp paranteze al.
Örnek İnceleme
x2 + 5x + 6
Hangi iki sayının çarpımı 6, toplamı 5 yapar?
Cevap: +3 ve +2
Çarpanlarına Ayrılmış Hali: (x + 3)(x + 2)
2. Senaryo: x²'nin Önünde Sayı Varsa (a ≠ 1)
Burada işler biraz daha teknikleşir. ax2 + bx + c ifadesinde hem baştaki terimi ($ax^2$) hem de sondaki terimi ($c$) çarpanlarına ayırırız.
| 2x2 + 7x + 3 | ||
| 2x | ⤫ | +1 |
| x | +3 | |
Sağlama (kontrol) yaparken ortadaki sayıyı bulmak için ÇAPRAZ çarparız.
(2x . 3) + (x . 1) = 6x + x = 7x (Ortayı verdi, harika!)
Ama parantezleri yazarken (pakete koyarken) DÜZ (YAN YANA) olanları yazarız!
3. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
Kuralımız: "Çarpımları sonu, toplamları ortayı verecek."
- Sondaki sayı: +10
- Ortadaki sayı: +7
Çarpımları 10, toplamları 7 olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar +5 ve +2'dir. (5x2=10, 5+2=7)
Bulduğumuz sayıları paranteze yazarız:
Cevap: (x + 5)(x + 2)
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + 5 B) x - 3 C) x - 5 D) x + 15
Çözümü Göster
İşin içine eksiler girince dikkatli olmalıyız.
- Sondaki sayı: -15. Çarpımları negatif olduğuna göre bu iki sayı ZIT İŞARETLİ olmalı. (Biri artı, biri eksi).
- Ortadaki sayı: -2. Toplamları negatif çıktığına göre, bu iki sayıdan BÜYÜK OLANIN İŞARETİ EKSİ olmalı.
Hangi sayıların çarpımı 15 yapar? (1 ve 15) veya (3 ve 5).
3 ve 5'i alalım. Büyük olan eksi olacak: -5 ve +3.
Kontrol: (-5) x (+3) = -15. (-5) + (+3) = -2. Sağladı!
Çarpanlarına ayrılmış hali: (x - 5)(x + 3)
Seçeneklerde x - 5 var. Cevap: C
ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali nedir?
Çözümü Göster
x²'nin önünde 3 olduğu için "Çapraz Çarpım" tablosunu kuracağız.
- Baştaki 3x²'yi ayıralım: 3x ve x
- Sondaki +8'i ayıralım. Dikkat, ortadaki sayı eksi (-10x). Bu yüzden 8'in çarpanlarını eksi seçmeliyiz (-2 ve -4 gibi).
Deneme yapalım:
| 3x | ⤫ | -4 |
| x | -2 |
Çapraz kontrol: (3x . -2) + (x . -4) = -6x - 4x = -10x (Ortayı verdi!)
Yazarken DÜZ yazıyoruz (Yan yana):
Cevap: (3x - 4)(x - 2)
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisi değildir?
A) 2x B) x - 6 C) x - 4 D) x + 2
Çözümü Göster
İfadeye ilk baktığımızda karmaşık geliyor (x³ var). Altın Kural: Her zaman önce Ortak Çarpan Parantezi yapılıp yapılamadığına bak!
- Bütün terimlerde "2" ve "x" ortaktır. İfadeyi 2x parantezine alalım.
- 2x(x2 - 4x - 12)
Şimdi parantezin içine odaklanalım: (x² - 4x - 12). Bu bir "Üç Terimli"dir (a=1).
- Çarpımları -12, toplamları -4 olan sayılar arıyoruz.
- Bu sayılar: -6 ve +2'dir.
- İçerinin açılımı: (x - 6)(x + 2)
En dıştaki 2x'i de unutmadan tüm çarpanları yan yana yazalım:
2x . (x - 6) . (x + 2)
Çarpanlara baktığımızda: 2x var, (x - 6) var, (x + 2) var. Ancak (x - 4) diye bir çarpan yoktur.
Cevap: C
ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster
Kesrin hem payını (üst) hem de paydasını (alt) çarpanlarına ayırmalıyız.
- Pay (Üst Kısım): x2 - 7x + 12 (Üç Terimli)
Çarpımları +12, toplamları -7 olan sayılar: -4 ve -3.
Açılımı: (x - 4)(x - 3) - Payda (Alt Kısım): x2 - 9 (İki Kare Farkı - Bölüm 4'ten hatırla!)
9 sayısı 3'ün karesidir. Bir eksilisi bir artılısı:
Açılımı: (x - 3)(x + 3)
Kesri yeni halleriyle yazalım:
Pay ve paydadaki (x - 3) ifadeleri birbirini sadeleştirir (yok eder).
Cevap:
Bir dikdörtgenin alanı matematiksel olarak x² + 8x + 15 birimkare formülüyle verilmektedir.
Bu dikdörtgenin kenar uzunlukları 1'den büyük tam sayılar olduğuna göre, bu dikdörtgenin çevre uzunluğunun "x" cinsinden eşiti nedir?
Çözümü Göster
Dikdörtgenin Alanı = (Kısa Kenar) . (Uzun Kenar)
Yani bize verilen x² + 8x + 15 ifadesini iki çarpana (iki paranteze) ayırmamız gerekiyor ki kenar uzunluklarını bulalım.
- İfade: x2 + 8x + 15
- Çarpımları 15, toplamları 8 olan iki sayı arıyoruz.
- Bu sayılar +5 ve +3'tür.
Kenarları bulduk!
Bir kenar: (x + 5)
Diğer kenar: (x + 3)
Bizden "Çevre Uzunluğu" isteniyor.
Çevre = 2 . (Kısa Kenar + Uzun Kenar)
Çevre = 2 . [ (x + 5) + (x + 3) ]
Çevre = 2 . [ 2x + 8 ]
Dışarıdaki 2'yi parantezin içine dağıtırsak:
Cevap: 4x + 16