MODÜL 10: BÖLÜM 1 - ÜS KAVRAMI VE İŞARET
"Sayıların Katlanarak Büyüme (veya Küçülme) Hikayesi"
1. Üslü Sayı Nedir?
Taban (a): Hangi sayının çarpılacağını gösterir.
Üs/Kuvvet (n): O sayının yan yana kaç defa çarpılacağını gösterir.
2. Temel Kurallar ve Özel Durumlar
🔹 Sıfırıncı Kuvvet
Sıfır hariç, her sayının 0. kuvveti 1'dir.
Not: 00 belirsizdir.
🔹 Birinci Kuvvet
Her sayının 1. kuvveti kendisidir.
🔹 1 ve 0'ın Kuvvetleri
1'in tüm kuvvetleri 1'dir.
0'ın pozitif tüm kuvvetleri 0'dır.
3. Negatif Üs Kuralı (Takla Attırma)
Bir sayının üssünün negatif olması, sayının işaretini etkilemez (sayıyı eksi yapmaz!). Negatif üs sadece kesre takla attırır (pay ve paydayı yer değiştirir).
Tam Sayılarda Takla
Kesirlerde Takla
4. İşaret İncelemesi (Parantez Tuzağı)
KPSS'de en çok can yakan yer burasıdır. Lütfen dikkatlice incele:
- Pozitif Sayılar: Tüm kuvvetleri pozitiftir. (Sıkıntı yok)
- Negatif Sayılar: Üssün TEK veya ÇİFT olmasına göre değişir.
Eksi işaretinin üsten etkilenmesi için parantezin İÇİNDE olması ve üssün PARANTEZİN DIŞINDA olması gerekir.
| (-2)4 = +16 | (Çift kuvvet dışarıda, eksi artıya döner) ✅ |
| -24 = -16 | (Kuvvet sadece 2'yi etkiler, eksi kalır) ❌ |
| (-24) = -16 | (Kuvvet içeride, eksiyi etkileyemez) ❌ |
| (-2)3 = -8 | (Tek kuvvet eksiyi yutamaz, eksi kalır) ➖ |
5. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Kuralları sırayla uygulayalım:
- 50 = 1 (Sıfırıncı kuvvet 1'dir)
- 1100 = 1 (1'in tüm kuvvetleri 1'dir)
- 07 = 0 (0'ın pozitif kuvvetleri 0'dır)
- 32 = 9 (3 x 3 = 9)
Yerine koyalım:
1 + 1 - 0 + 9 = 11
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
İşaret incelemesi yapalım:
- (-3)2 = +9 (Çift kuvvet parantez dışında, eksi artıya döner)
- 32 = 9 (Önündeki eksi işlem eksisidir, yani ifade -9 olur)
- (-2)3 = -8 (Tek kuvvet eksiyi yutamaz)
Yerine koyalım:
(+9) - (9) + (-8)
9 - 9 - 8 = -8
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Negatif üs, sayıya takla attırıp kesir yapar:
- 2-1 = 1/2
- 2-2 = 1/4
- 2-3 = 1/8
Toplama işlemi için payda eşitleriz (8'de birleşirler):
a < 0 < b olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu kesinlikle negatiftir?
A) a2 . b
B) (a - b)2
C) a3 . b2
Çözümü Göster
a negatif (-), b pozitif (+) bir sayıdır.
- A şıkkı: a2 (Çift kuvvetten + olur). b zaten (+). Çarpımları (+) olur.
- B şıkkı: Dışarıda çift kuvvet (2) var. İçerisi ne olursa olsun sonuç daima (+) çıkar.
- C şıkkı: a3 (Negatifin tek kuvveti - olur). b2 (+ olur).
(-) ile (+) çarpımı Negatif (-) olur!
Cevap: C
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Önce pay (üst kısım) ve paydayı (alt kısım) ayrı ayrı çözelim.
Pay (Üst Taraf):
- (-2)3 = -8
- - 23 = -8
- (-24) = -16 (Kuvvet içeride, eksi yutulmaz).
Üst taraf: -8 - 8 - 16 = -32
Payda (Alt Taraf):
(-2)-2
Önce işaret: Çift kuvvet eksiyi yutar (+ olur).
Sonra takla: 2-2 = 1/4
Sonuç (Bölme):
Birinci aynen kalır, ikinci ters çevrilip çarpılır:
-32 . 4 = -128
a > 0 olmak üzere;
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
Önce ifadedeki işaretleri halledelim, sonra "a"ları çarpalım.
- (-a)3 ➡ Tek kuvvet eksiyi yutmaz. Sonuç: -a3
- (-a4) ➡ Çift kuvvet (4) parantezin içinde. Eksiyi yutamaz! Sonuç: -a4
- (-a)-2 ➡ Çift kuvvet (-2) parantez DIŞINDA. Eksiyi yutar. Sonuç: +a-2
Şimdi bu üçünü çarpalım:
(-a3) . (-a4) . (+a-2)
İşaretlerin çarpımı: (-) . (-) . (+) = (+)
Üsler toplanır (Tabanlar aynıysa): 3 + 4 + (-2) = 5
Sonuç: +a5
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
En içten (köşeli parantezin içinden) başlayalım. Adım adım işaret analizi:
- -14 ➡ Kuvvet sadece 1'de, eksiye dokunmaz: -1
- (-1)5 ➡ Tek kuvvet, eksi yutulmaz: -1
- (-1)-6 ➡ Çift kuvvet (-6) parantez dışında, eksi yutulur. 1'in tüm kuvvetleri 1'dir: +1
Köşeli parantez içini toparlayalım:
[ -1 + (-1) - (+1) ]
[ -1 - 1 - 1 ] = -3
Şimdi en dıştaki kuvvete geçelim:
(-3)-3
Önce İşaret: Tek kuvvet (-3), sonuç Negatif (-).
Sonra Takla: 33 = 27, takla atarsa 1/27.
Sonuç:
x, y ve z sıfırdan farklı gerçel sayılardır.
- x2 . y3 < 0
- y . z5 > 0
- x . z2 > 0
Buna göre x, y ve z'nin işaretleri sırasıyla nedir?
Çözümü Göster
1. Eşitsizlik: x2 . y3 < 0
x2 daima (+)'dır. O halde sonucun (-) çıkması için y3'ün (-) olması şarttır.
Tek kuvvet işareti değiştirmediği için y = (-) bulunur.
2. Eşitsizlik: y . z5 > 0
y'nin (-) olduğunu bulmuştuk. Çarpımın (+) çıkması için z5'in de (-) olması şarttır. Eksi çarpı eksi artıdır.
z = (-) bulunur.
3. Eşitsizlik: x . z2 > 0
z2 daima (+)'dır. Sonucun (+) çıkması için x'in de (+) olması şarttır.
x = (+) bulunur.
Sırasıyla İşaretler: +, -, -
MODÜL 10: BÖLÜM 1 - ÜS KAVRAMI VE İŞARET
"Sayıların Katlanarak Büyüme (veya Küçülme) Hikayesi"
1. Üslü Sayı Nedir?
Taban (a): Hangi sayının çarpılacağını gösterir.
Üs/Kuvvet (n): O sayının yan yana kaç defa çarpılacağını gösterir.
2. Temel Kurallar ve Özel Durumlar
🔹 Sıfırıncı Kuvvet
Sıfır hariç, her sayının 0. kuvveti 1'dir.
Not: 00 belirsizdir.
🔹 Birinci Kuvvet
Her sayının 1. kuvveti kendisidir.
🔹 1 ve 0'ın Kuvvetleri
1'in tüm kuvvetleri 1'dir.
0'ın pozitif tüm kuvvetleri 0'dır.
3. Negatif Üs Kuralı (Takla Attırma)
Bir sayının üssünün negatif olması, sayının işaretini etkilemez (sayıyı eksi yapmaz!). Negatif üs sadece kesre takla attırır (pay ve paydayı yer değiştirir).
Tam Sayılarda Takla
Kesirlerde Takla
4. İşaret İncelemesi (Parantez Tuzağı)
KPSS'de en çok can yakan yer burasıdır. Lütfen dikkatlice incele:
- Pozitif Sayılar: Tüm kuvvetleri pozitiftir. (Sıkıntı yok)
- Negatif Sayılar: Üssün TEK veya ÇİFT olmasına göre değişir.
Eksi işaretinin üsten etkilenmesi için parantezin İÇİNDE olması ve üssün PARANTEZİN DIŞINDA olması gerekir.
| (-2)4 = +16 | (Çift kuvvet dışarıda, eksi artıya döner) ✅ |
| -24 = -16 | (Kuvvet sadece 2'yi etkiler, eksi kalır) ❌ |
| (-24) = -16 | (Kuvvet içeride, eksiyi etkileyemez) ❌ |
| (-2)3 = -8 | (Tek kuvvet eksiyi yutamaz, eksi kalır) ➖ |
5. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Kuralları sırayla uygulayalım:
- 50 = 1 (Sıfırıncı kuvvet 1'dir)
- 1100 = 1 (1'in tüm kuvvetleri 1'dir)
- 07 = 0 (0'ın pozitif kuvvetleri 0'dır)
- 32 = 9 (3 x 3 = 9)
Yerine koyalım:
1 + 1 - 0 + 9 = 11
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
İşaret incelemesi yapalım:
- (-3)2 = +9 (Çift kuvvet parantez dışında, eksi artıya döner)
- 32 = 9 (Önündeki eksi işlem eksisidir, yani ifade -9 olur)
- (-2)3 = -8 (Tek kuvvet eksiyi yutamaz)
Yerine koyalım:
(+9) - (9) + (-8)
9 - 9 - 8 = -8
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Negatif üs, sayıya takla attırıp kesir yapar:
- 2-1 = 1/2
- 2-2 = 1/4
- 2-3 = 1/8
Toplama işlemi için payda eşitleriz (8'de birleşirler):
a < 0 < b olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu kesinlikle negatiftir?
A) a2 . b
B) (a - b)2
C) a3 . b2
Çözümü Göster
a negatif (-), b pozitif (+) bir sayıdır.
- A şıkkı: a2 (Çift kuvvetten + olur). b zaten (+). Çarpımları (+) olur.
- B şıkkı: Dışarıda çift kuvvet (2) var. İçerisi ne olursa olsun sonuç daima (+) çıkar.
- C şıkkı: a3 (Negatifin tek kuvveti - olur). b2 (+ olur).
(-) ile (+) çarpımı Negatif (-) olur!
Cevap: C
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Önce pay (üst kısım) ve paydayı (alt kısım) ayrı ayrı çözelim.
Pay (Üst Taraf):
- (-2)3 = -8
- - 23 = -8
- (-24) = -16 (Kuvvet içeride, eksi yutulmaz).
Üst taraf: -8 - 8 - 16 = -32
Payda (Alt Taraf):
(-2)-2
Önce işaret: Çift kuvvet eksiyi yutar (+ olur).
Sonra takla: 2-2 = 1/4
Sonuç (Bölme):
Birinci aynen kalır, ikinci ters çevrilip çarpılır:
-32 . 4 = -128
a > 0 olmak üzere;
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
Önce ifadedeki işaretleri halledelim, sonra "a"ları çarpalım.
- (-a)3 ➡ Tek kuvvet eksiyi yutmaz. Sonuç: -a3
- (-a4) ➡ Çift kuvvet (4) parantezin içinde. Eksiyi yutamaz! Sonuç: -a4
- (-a)-2 ➡ Çift kuvvet (-2) parantez DIŞINDA. Eksiyi yutar. Sonuç: +a-2
Şimdi bu üçünü çarpalım:
(-a3) . (-a4) . (+a-2)
İşaretlerin çarpımı: (-) . (-) . (+) = (+)
Üsler toplanır (Tabanlar aynıysa): 3 + 4 + (-2) = 5
Sonuç: +a5
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
En içten (köşeli parantezin içinden) başlayalım. Adım adım işaret analizi:
- -14 ➡ Kuvvet sadece 1'de, eksiye dokunmaz: -1
- (-1)5 ➡ Tek kuvvet, eksi yutulmaz: -1
- (-1)-6 ➡ Çift kuvvet (-6) parantez dışında, eksi yutulur. 1'in tüm kuvvetleri 1'dir: +1
Köşeli parantez içini toparlayalım:
[ -1 + (-1) - (+1) ]
[ -1 - 1 - 1 ] = -3
Şimdi en dıştaki kuvvete geçelim:
(-3)-3
Önce İşaret: Tek kuvvet (-3), sonuç Negatif (-).
Sonra Takla: 33 = 27, takla atarsa 1/27.
Sonuç:
x, y ve z sıfırdan farklı gerçel sayılardır.
- x2 . y3 < 0
- y . z5 > 0
- x . z2 > 0
Buna göre x, y ve z'nin işaretleri sırasıyla nedir?
Çözümü Göster
1. Eşitsizlik: x2 . y3 < 0
x2 daima (+)'dır. O halde sonucun (-) çıkması için y3'ün (-) olması şarttır.
Tek kuvvet işareti değiştirmediği için y = (-) bulunur.
2. Eşitsizlik: y . z5 > 0
y'nin (-) olduğunu bulmuştuk. Çarpımın (+) çıkması için z5'in de (-) olması şarttır. Eksi çarpı eksi artıdır.
z = (-) bulunur.
3. Eşitsizlik: x . z2 > 0
z2 daima (+)'dır. Sonucun (+) çıkması için x'in de (+) olması şarttır.
x = (+) bulunur.
Sırasıyla İşaretler: +, -, -