MODÜL 10: BÖLÜM 2 - DÖRT İŞLEM VE ÜSSÜN ÜSSÜ
"Tabanlar Kardeş, Üsler Yoldaş!"
1. Üssün Üssü Kuralı (Dönüşüm Makinesi)
Üslü sayılarda işlem yapabilmek için sayıları aynı tabana çevirmemiz gerekir. Bunun için "Üssün Üssü" kuralını kullanırız. Üsler birbirleriyle çarpılır.
Örnek 1: 8 sayısını 2 tabanında yazalım.
Örnek 2: 81 sayısını 3 tabanında yazalım.
2. Çarpma ve Bölme İşlemi
✖️ Çarpma İşlemi
- Tabanlar aynıysa: Üsler toplanır.
23 . 25 = 28 - Üsler aynıysa: Tabanlar çarpılır.
24 . 54 = 104
➗ Bölme İşlemi
- Tabanlar aynıysa: Payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.
710 73= 710 - 3 = 77 - Üsler aynıysa: Tabanlar bölünür.
20x 4x= 5x
3. Toplama ve Çıkarma İşlemi
Üslü sayılarda toplama/çıkarma yapabilmek için HEM TABANLAR HEM DE ÜSLER TIPATIP AYNI olmak zorundadır. Sadece başlarındaki katsayılar (adetler) toplanır.
SAKIN YAPMA: 23 + 24 ≠ 27 (Üsler toplanmaz!)
Taktik: Üsler aynı değilse ne yapacağız?
Eğer üsler aynı değilse, daima en küçük üslü sayının parantezine (ortak çarpan) alırız.
4. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
- Pay kısmı (Çarpma): Tabanlar aynı, üsleri topla.
34+7 = 311 - Bölme: Payın üssünden paydanın üssünü çıkar.
311 39= 311-9 = 32
Cevap: 32 = 9
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
Tabanlar farklı ama ikisi de 2'nin akrabası. Hepsini 2 tabanında yazalım.
- 16 = 24 ➡ (24)3 = 212
- 8 = 23 ➡ (23)2 = 26
Şimdi çarpma işlemini yapalım (Tabanlar aynı, üsleri topla):
212 . 26 = 218
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Bölme kuralı: Üsttekinden alttakini ÇIKAR. Dikkat: Alttakini çıkarırken eksi parantezine almayı unutma!
- Üsler: (x + 3) - (x - 1)
- Eksiyi dağıt: x + 3 - x + 1
- x'ler birbirini götürür: 3 + 1 = 4
Tabanımız 5'ti. Sonuç: 54 = 625
2x = a ve 3x = b olduğuna göre,
72x ifadesinin a ve b türünden eşiti nedir?
Çözümü Göster
72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım (Algoritma veya zihinden):
- 72 = 8 . 9
- 72 = 23 . 32
Hepsine "x" üssünü dağıtalım (Kuvvetleri yer değiştirebiliriz):
72x = (23)x . (32)x
72x = (2x)3 . (3x)2
Şimdi yerine a ve b yazalım:
a3 . b2
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Burada en küçük üs 18'dir. Her yeri 318 parantezine alalım:
- Pay (Üst): 318 . (32 - 1)
- Payda (Alt): 318 . (31 + 1)
Yerine koyalım ve 318 leri sadeleştirelim (birbirini götürürler):
Cevap: 2
olduğuna göre x kaçtır?
Çözümü Göster
Önce elma sayar gibi adetleri toplayalım:
- Pay: 3 tane 10x var ➡ 3 . 10x
- Payda: 2 tane 5x var ➡ 2 . 5x
Denklemi yazalım:
Şimdi sayıları kendi arasında, üslüleri kendi arasında bölelim. Üsler aynı (x) olduğu için tabanlar bölünür (10/5 = 2).
3/2'yi karşıya ters çevirerek (2/3 olarak) atalım:
2x = 24 .
2x = 16
2'nin kaçıncı kuvveti 16'dır? Cevap: x = 4
Kalınlığı 2-2 mm olan bir A4 kağıdı tam ortadan ikiye katlanıyor. Elde edilen kağıt tekrar tam ortadan ikiye katlanıyor.
Bu katlama işlemi aralıksız 10 defa yapıldığında, oluşan kağıt bloğunun kalınlığı kaç mm olur?
Çözümü Göster
Mantık: Bir kağıdı her ikiye katladığınızda, kalınlığı 2 katına çıkar (Yani 2 ile çarpılır).
- 1. katlamada kalınlık: Başlangıç . 21
- 2. katlamada kalınlık: Başlangıç . 22
- ...
- 10. katlamada kalınlık: Başlangıç . 210 olur.
İşlemi yapalım:
Başlangıç kalınlığı = 2-2
2-2 . 210 = 2-2 + 10
= 28 mm
(28 = 256 mm'dir)
MODÜL 10: BÖLÜM 2 - DÖRT İŞLEM VE ÜSSÜN ÜSSÜ
"Tabanlar Kardeş, Üsler Yoldaş!"
1. Üssün Üssü Kuralı (Dönüşüm Makinesi)
Üslü sayılarda işlem yapabilmek için sayıları aynı tabana çevirmemiz gerekir. Bunun için "Üssün Üssü" kuralını kullanırız. Üsler birbirleriyle çarpılır.
Örnek 1: 8 sayısını 2 tabanında yazalım.
Örnek 2: 81 sayısını 3 tabanında yazalım.
2. Çarpma ve Bölme İşlemi
✖️ Çarpma İşlemi
- Tabanlar aynıysa: Üsler toplanır.
23 . 25 = 28 - Üsler aynıysa: Tabanlar çarpılır.
24 . 54 = 104
➗ Bölme İşlemi
- Tabanlar aynıysa: Payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.
710 73= 710 - 3 = 77 - Üsler aynıysa: Tabanlar bölünür.
20x 4x= 5x
3. Toplama ve Çıkarma İşlemi
Üslü sayılarda toplama/çıkarma yapabilmek için HEM TABANLAR HEM DE ÜSLER TIPATIP AYNI olmak zorundadır. Sadece başlarındaki katsayılar (adetler) toplanır.
SAKIN YAPMA: 23 + 24 ≠ 27 (Üsler toplanmaz!)
Taktik: Üsler aynı değilse ne yapacağız?
Eğer üsler aynı değilse, daima en küçük üslü sayının parantezine (ortak çarpan) alırız.
4. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
- Pay kısmı (Çarpma): Tabanlar aynı, üsleri topla.
34+7 = 311 - Bölme: Payın üssünden paydanın üssünü çıkar.
311 39= 311-9 = 32
Cevap: 32 = 9
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
Tabanlar farklı ama ikisi de 2'nin akrabası. Hepsini 2 tabanında yazalım.
- 16 = 24 ➡ (24)3 = 212
- 8 = 23 ➡ (23)2 = 26
Şimdi çarpma işlemini yapalım (Tabanlar aynı, üsleri topla):
212 . 26 = 218
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Bölme kuralı: Üsttekinden alttakini ÇIKAR. Dikkat: Alttakini çıkarırken eksi parantezine almayı unutma!
- Üsler: (x + 3) - (x - 1)
- Eksiyi dağıt: x + 3 - x + 1
- x'ler birbirini götürür: 3 + 1 = 4
Tabanımız 5'ti. Sonuç: 54 = 625
2x = a ve 3x = b olduğuna göre,
72x ifadesinin a ve b türünden eşiti nedir?
Çözümü Göster
72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım (Algoritma veya zihinden):
- 72 = 8 . 9
- 72 = 23 . 32
Hepsine "x" üssünü dağıtalım (Kuvvetleri yer değiştirebiliriz):
72x = (23)x . (32)x
72x = (2x)3 . (3x)2
Şimdi yerine a ve b yazalım:
a3 . b2
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Burada en küçük üs 18'dir. Her yeri 318 parantezine alalım:
- Pay (Üst): 318 . (32 - 1)
- Payda (Alt): 318 . (31 + 1)
Yerine koyalım ve 318 leri sadeleştirelim (birbirini götürürler):
Cevap: 2
olduğuna göre x kaçtır?
Çözümü Göster
Önce elma sayar gibi adetleri toplayalım:
- Pay: 3 tane 10x var ➡ 3 . 10x
- Payda: 2 tane 5x var ➡ 2 . 5x
Denklemi yazalım:
Şimdi sayıları kendi arasında, üslüleri kendi arasında bölelim. Üsler aynı (x) olduğu için tabanlar bölünür (10/5 = 2).
3/2'yi karşıya ters çevirerek (2/3 olarak) atalım:
2x = 24 .
2x = 16
2'nin kaçıncı kuvveti 16'dır? Cevap: x = 4
Kalınlığı 2-2 mm olan bir A4 kağıdı tam ortadan ikiye katlanıyor. Elde edilen kağıt tekrar tam ortadan ikiye katlanıyor.
Bu katlama işlemi aralıksız 10 defa yapıldığında, oluşan kağıt bloğunun kalınlığı kaç mm olur?
Çözümü Göster
Mantık: Bir kağıdı her ikiye katladığınızda, kalınlığı 2 katına çıkar (Yani 2 ile çarpılır).
- 1. katlamada kalınlık: Başlangıç . 21
- 2. katlamada kalınlık: Başlangıç . 22
- ...
- 10. katlamada kalınlık: Başlangıç . 210 olur.
İşlemi yapalım:
Başlangıç kalınlığı = 2-2
2-2 . 210 = 2-2 + 10
= 28 mm
(28 = 256 mm'dir)