MODÜL 17: BÖLÜM 3 - USTALIK VE ÇIRAKLIK İLİŞKİSİ
"Hızlı Olan Erken Bitirir: Ters Orantının Gücü!"
1. Hız ve Süre Terazisi
İşçi problemlerinde HIZ (Kapasite) ile SÜRE tahterevalli gibidir. Biri artarsa diğeri azalır.
🚀 Hız (V)
Bir işçinin birim zamanda (1 saatte/günde) yaptığı iştir.
Usta, çıraktan daha HIZLIDIR.
Kapasite Yüksek ➡ Hız Yüksek
⏳ Süre (t)
İşin tamamını bitirme süresidir.
Usta işi daha KISA SÜREDE bitirir.
Hız Yüksek ➡ Süre Düşük
2. Kapasite (Birim İş) Yöntemi
Soruda "Usta çırağın 3 katı hızla çalışıyor" derse, kesirlerle uğraşmak yerine onlara GÜÇ PUANI verin!
Çırak Hızı = V ➡ Bitirme Süresi = 3t
Ne kadar güçlüysen, süre o kadar azalır (Ters Orantı).
"Usta çıraktan 2 kat hızlıdır" demek, ustanın işi bitirme süresi çırağın YARISIDIR demektir. (2 katı değil!).
Usta = 10 gün ise, Çırak = 20 gündür.
3. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
Bir ustanın çalışma hızı, çırağın çalışma hızının 3 katıdır.
İkisi birlikte bir işi 6 günde bitirebildiklerine göre, çırak bu işi tek başına kaç günde bitirir?
Çözümü Göster
Kesir (1/t) formülüne hiç girmeden "Güç Puanı" (Birim İş) yöntemiyle çözelim.
- Çırağın Hızı (Gücü): V olsun. (Günde 1 tuğla koyuyor).
- Ustanın Hızı (Gücü): 3 katı olduğu için 3V olsun. (Günde 3 tuğla koyuyor).
- Birlikte Güçleri: V + 3V = 4V. (Beraber günde 4 tuğla koyarlar).
Beraber 6 günde bitiriyorlarmış. İşin tamamını bulalım:
İşimiz toplam 24 birimlik (24 tuğla) bir işmiş.
Soru Çırağı (Hızı V) soruyor:
Süre = İş / Hız = 24V / V = 24 gün.
(Meraklısına: Usta 24/3 = 8 günde bitirirdi).
Eşit kapasitedeki 4 işçi bir işi birlikte 15 saatte bitirebilmektedir.
Bu işçilerden 3 tanesi aynı işi birlikte kaç saatte bitirir?
Çözümü Göster
Bu, klasik bir Ters Orantı sorusudur. İşçi sayısı azalırsa, süre uzar!
1. YOL (Mantık):
- Her işçinin gücüne 1 birim diyelim.
- 4 işçi = 4 birim güç. 15 saatte bitiyor.
- Toplam İş Miktarı = 4 . 15 = 60 birimlik iş.
Şimdi 3 işçi çalışacak (Güç = 3 birim).
Süre = İş / Güç = 60 / 3 = 20 saat.
2. YOL (Orantı):
3 işçi ➡ x saat
(Ters Orantı - Düz Çarpım)
4 . 15 = 3 . x
60 = 3x ➡ x = 20
Ali bir işi a günde, Veli aynı işi b günde bitirmektedir.
İkisi birlikte bu işi 12 günde bitirdiklerine göre, Ali tek başına kaç günde bitirir?
Çözümü Göster
Süreler oranı verilmiş: a/b = 2/3. Yani:
- Ali'nin süresi (a) = 2k
- Veli'nin süresi (b) = 3k
Hız ile süre ters orantılıydı. Süreleri ters çevirip HIZ (Güç) verelim:
- Ali (2k sürede yapıyor) ➡ Hızı 3V (Hızlı)
- Veli (3k sürede yapıyor) ➡ Hızı 2V (Yavaş)
Toplam İş Hesabı:
Birlikte Hızları = 3V + 2V = 5V.
Süre = 12 gün.
Toplam İş = 5V . 12 = 60V (İşin büyüklüğü).
Bizden Ali'nin süresi isteniyor. Ali'nin hızı 3V idi.
Ali'nin Süresi = 60V / 3V = 20 gün.
Bir işçi çalışma hızını 2 katına çıkarırsa işi planlanandan 5 gün daha erken bitiriyor.
Buna göre, bu işçi başlangıçtaki hızıyla işi kaç günde bitirirdi?
Çözümü Göster
- Durum 1: Hız = V ➡ Süre = t
- Durum 2: Hız = 2V (İki katına çıktı) ➡ Süre ne olur? Hız 2 katına çıkarsa süre YARIYA iner. Süre = t/2
Soru diyor ki; yeni süre (t/2), eski süreden (t) 5 gün eksikmiş.
t/2 = 5 ➡ t = 10
Cevap: Başlangıçtaki süre 10 gündür.
Bir kırtasiyede A ve B marka iki fotokopi makinesi vardır. A makinesi dakikada 20 sayfa, B makinesi ise dakikada 30 sayfa basabilmektedir.
Eşit sayıdaki fotokopiyi basmak için iki makine aynı anda çalıştırılıyor. B makinesi işini A makinesinden 4 dakika önce bitirdiğine göre, toplam kaç sayfa fotokopi çekilmiştir?
Çözümü Göster
Makinelerin hızları belli: A = 20, B = 30.
Hızlar oranı: 20/30 = 2/3.
Hız ile süre ters orantılıdır. O halde süreler tam tersi oranlı olacaktır:
- B makinesi (Hızlı) = 2t sürede bitirir.
- A makinesi (Yavaş) = 3t sürede bitirir.
Aradaki fark 4 dakika olarak verilmiş:
3t - 2t = 4 ➡ t = 4 dakika.
Herhangi bir makine üzerinden toplam sayfayı bulabiliriz. B makinesini kullanalım:
- B'nin süresi = 2t = 2 . 4 = 8 dakika.
- B'nin hızı = 30 sayfa/dakika.
- Bir makinenin bastığı sayfa = 8 . 30 = 240 sayfa.
DİKKAT! Soruda "Toplam kaç sayfa fotokopi çekilmiştir" diyor ve makineler "Eşit sayıda" fotokopi basmış. Yani her makine 240 sayfa basmış.
Toplam = 240 (A'dan) + 240 (B'den) = 480 sayfa.
MODÜL 17: BÖLÜM 3 - USTALIK VE ÇIRAKLIK İLİŞKİSİ
"Hızlı Olan Erken Bitirir: Ters Orantının Gücü!"
1. Hız ve Süre Terazisi
İşçi problemlerinde HIZ (Kapasite) ile SÜRE tahterevalli gibidir. Biri artarsa diğeri azalır.
🚀 Hız (V)
Bir işçinin birim zamanda (1 saatte/günde) yaptığı iştir.
Usta, çıraktan daha HIZLIDIR.
Kapasite Yüksek ➡ Hız Yüksek
⏳ Süre (t)
İşin tamamını bitirme süresidir.
Usta işi daha KISA SÜREDE bitirir.
Hız Yüksek ➡ Süre Düşük
2. Kapasite (Birim İş) Yöntemi
Soruda "Usta çırağın 3 katı hızla çalışıyor" derse, kesirlerle uğraşmak yerine onlara GÜÇ PUANI verin!
Çırak Hızı = V ➡ Bitirme Süresi = 3t
Ne kadar güçlüysen, süre o kadar azalır (Ters Orantı).
"Usta çıraktan 2 kat hızlıdır" demek, ustanın işi bitirme süresi çırağın YARISIDIR demektir. (2 katı değil!).
Usta = 10 gün ise, Çırak = 20 gündür.
3. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
Bir ustanın çalışma hızı, çırağın çalışma hızının 3 katıdır.
İkisi birlikte bir işi 6 günde bitirebildiklerine göre, çırak bu işi tek başına kaç günde bitirir?
Çözümü Göster
Kesir (1/t) formülüne hiç girmeden "Güç Puanı" (Birim İş) yöntemiyle çözelim.
- Çırağın Hızı (Gücü): V olsun. (Günde 1 tuğla koyuyor).
- Ustanın Hızı (Gücü): 3 katı olduğu için 3V olsun. (Günde 3 tuğla koyuyor).
- Birlikte Güçleri: V + 3V = 4V. (Beraber günde 4 tuğla koyarlar).
Beraber 6 günde bitiriyorlarmış. İşin tamamını bulalım:
İşimiz toplam 24 birimlik (24 tuğla) bir işmiş.
Soru Çırağı (Hızı V) soruyor:
Süre = İş / Hız = 24V / V = 24 gün.
(Meraklısına: Usta 24/3 = 8 günde bitirirdi).
Eşit kapasitedeki 4 işçi bir işi birlikte 15 saatte bitirebilmektedir.
Bu işçilerden 3 tanesi aynı işi birlikte kaç saatte bitirir?
Çözümü Göster
Bu, klasik bir Ters Orantı sorusudur. İşçi sayısı azalırsa, süre uzar!
1. YOL (Mantık):
- Her işçinin gücüne 1 birim diyelim.
- 4 işçi = 4 birim güç. 15 saatte bitiyor.
- Toplam İş Miktarı = 4 . 15 = 60 birimlik iş.
Şimdi 3 işçi çalışacak (Güç = 3 birim).
Süre = İş / Güç = 60 / 3 = 20 saat.
2. YOL (Orantı):
3 işçi ➡ x saat
(Ters Orantı - Düz Çarpım)
4 . 15 = 3 . x
60 = 3x ➡ x = 20
Ali bir işi a günde, Veli aynı işi b günde bitirmektedir.
İkisi birlikte bu işi 12 günde bitirdiklerine göre, Ali tek başına kaç günde bitirir?
Çözümü Göster
Süreler oranı verilmiş: a/b = 2/3. Yani:
- Ali'nin süresi (a) = 2k
- Veli'nin süresi (b) = 3k
Hız ile süre ters orantılıydı. Süreleri ters çevirip HIZ (Güç) verelim:
- Ali (2k sürede yapıyor) ➡ Hızı 3V (Hızlı)
- Veli (3k sürede yapıyor) ➡ Hızı 2V (Yavaş)
Toplam İş Hesabı:
Birlikte Hızları = 3V + 2V = 5V.
Süre = 12 gün.
Toplam İş = 5V . 12 = 60V (İşin büyüklüğü).
Bizden Ali'nin süresi isteniyor. Ali'nin hızı 3V idi.
Ali'nin Süresi = 60V / 3V = 20 gün.
Bir işçi çalışma hızını 2 katına çıkarırsa işi planlanandan 5 gün daha erken bitiriyor.
Buna göre, bu işçi başlangıçtaki hızıyla işi kaç günde bitirirdi?
Çözümü Göster
- Durum 1: Hız = V ➡ Süre = t
- Durum 2: Hız = 2V (İki katına çıktı) ➡ Süre ne olur? Hız 2 katına çıkarsa süre YARIYA iner. Süre = t/2
Soru diyor ki; yeni süre (t/2), eski süreden (t) 5 gün eksikmiş.
t/2 = 5 ➡ t = 10
Cevap: Başlangıçtaki süre 10 gündür.
Bir kırtasiyede A ve B marka iki fotokopi makinesi vardır. A makinesi dakikada 20 sayfa, B makinesi ise dakikada 30 sayfa basabilmektedir.
Eşit sayıdaki fotokopiyi basmak için iki makine aynı anda çalıştırılıyor. B makinesi işini A makinesinden 4 dakika önce bitirdiğine göre, toplam kaç sayfa fotokopi çekilmiştir?
Çözümü Göster
Makinelerin hızları belli: A = 20, B = 30.
Hızlar oranı: 20/30 = 2/3.
Hız ile süre ters orantılıdır. O halde süreler tam tersi oranlı olacaktır:
- B makinesi (Hızlı) = 2t sürede bitirir.
- A makinesi (Yavaş) = 3t sürede bitirir.
Aradaki fark 4 dakika olarak verilmiş:
3t - 2t = 4 ➡ t = 4 dakika.
Herhangi bir makine üzerinden toplam sayfayı bulabiliriz. B makinesini kullanalım:
- B'nin süresi = 2t = 2 . 4 = 8 dakika.
- B'nin hızı = 30 sayfa/dakika.
- Bir makinenin bastığı sayfa = 8 . 30 = 240 sayfa.
DİKKAT! Soruda "Toplam kaç sayfa fotokopi çekilmiştir" diyor ve makineler "Eşit sayıda" fotokopi basmış. Yani her makine 240 sayfa basmış.
Toplam = 240 (A'dan) + 240 (B'den) = 480 sayfa.